Predavanje MatR.3: Vektorski in mešani produkt

I.4. Vektorski produkt

Vektorski produkt vektorjev \vec a,\vec b je definiran kot \vec a\times\vec b=|\vec a| \, |\vec b| \sin(\varphi) \vec n, kjer je \varphi\in [0,\pi] kot med \vec a in \vec b, \vec n pa je enotski vektor pravokoten na ravnino, ki jo napenjata \vec a,\vec b. Pri tem za \vec n upostevamo pravilo desnega vijaka.

Dolžina |\vec a\times\vec b| je torej enaka ploščini paralelograma, ki je napet na \vec a,\vec b.

Lastnosti vektorskega produkta {\textvisiblespace}\times{\textvisiblespace} : \mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R^3:

  1. antikomutativnost: \vec a\times \vec b=- \vec b\times \vec a za vse vektorje \vec a,\vec b;
  2. distributivnost: \vec a\times (\vec b+\vec c)= \vec a\times\vec b+ \vec a\times \vec c za vse vektorje \vec a,\vec b,\vec c;
  3. homogenost: (\lambda \vec a)\times \vec b= \lambda (\vec a\times \vec b) za vse vektorje \vec a,\vec b in skalarje \lambda;
  4. Jacobijeva identiteta: (\vec a\times \vec b)\times \vec c+(\vec b\times \vec c)\times \vec a+(\vec c\times \vec a)\times \vec b=0 za vse vektorje \vec a,\vec b,\vec c.

Takoj opazimo, da veljata tudi lastnosti:

  • (\vec a+\vec b) \times \vec c= \vec a\times\vec c+ \vec b\times \vec c za vse vektorje \vec a,\vec b,\vec c;
  • \vec a\times (\lambda \vec b)= \lambda (\vec a\times \vec b) za vse vektorje \vec a,\vec b in skalarje \lambda.

Trditev: Če sta \vec a,\vec b linearno odvisna, potem je \vec a\times \vec b=0. V posebnem je \vec a\times \vec a=0.

Zgled: Za standardno bazo \vec i,\vec j,\vec k velja: \vec i \times \vec j= \vec k = - \vec j\times \vec i\vec j \times \vec k= \vec i= - \vec k\times \vec j, \vec k \times \vec i= \vec j= - \vec i\times \vec k, \vec i \times \vec i= \vec j\times\vec j = \vec k\times \vec k=0.

Trditev: Vektorski produkt dveh vektorjev \vec a=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}, \vec b=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\in\mathbb R^3 je \begin{bmatrix} a_2 b_3-a_3 b_2 \\ a_3b_1-a_1b_3 \\ a_1b_2-a_2b_1\end{bmatrix}.

Formulo si je lažje zapomniti s pomocjo determinant. Determinanta velikosti 2\times 2 je \begin{vmatrix} a & b \\ c & d\end{vmatrix}=ad-bc, determinanta velikosti 3\times 3 pa izracunamo takole: \begin{vmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{vmatrix} = x_1 \begin{vmatrix} y_2 & y_3 \\ z_2 & z_3 \end{vmatrix} - x_2 \begin{vmatrix} y_1 & y_3 \\ z_1 & z_3 \end{vmatrix} - x_3 \begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\ z_1 & z_2 \end{vmatrix}.

Tedaj je vektorski produkt \vec a, \vec b enak \vec a \times \vec b= \begin{vmatrix} \vec i & \vec j & \vec k \\ a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}.

Opomba: Če sta vektorja \vec a,\vec b linearno neodvisna, potem je \{\vec a,\vec b,\vec a\times\vec b\} baza za \mathbb R^3.

Zgled: V prostoru so podane točke A(1,1,0),\, B(0,1,1),\, C(1,0,1). Kako določiti ploščino S trikotnika ABC? Velja S=\frac 12 |\vec {AB}\times \vec {AC}|. Ker je \vec {AB}=\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix} in \vec {AC}=\begin{bmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, je \vec{AB}\times\vec{AC}=\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{bmatrix}. Sledi S=\frac{\sqrt 3}2.

Trditev: Naj bodo \vec a,\vec b,\vec c poljubni vektorji. Potem je:

  1. (\vec a\times\vec b)\times\vec c=(\vec a\cdot \vec c)\vec b-(\vec b\cdot\vec c)\vec a;
  2. |\vec a\times \vec b|^2+ |\vec a\cdot\vec b|^2 = |\vec a|^2\, |\vec b|^2.

I.5. Mešani produkt

Mešani produkt vektorjev \vec a,\vec b,\vec c je definiran kot (\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec a\times \vec b)\cdot \vec c in je preslikava ({\textvisiblespace},{\textvisiblespace},{\textvisiblespace}) : \mathbb R^3\times\mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R.

Trditev: (\vec a,\vec b,\vec c)= \begin{vmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{vmatrix}.

Trditev: Absolutna vrednost mešanega produkta (\vec a,\vec b,\vec c) je enaka prostornini paralelepipeda, ki ga napenjajo \vec a,\vec b,\vec c.

Lastnosti mešanega produkta:

  1. (\vec a,\vec b,\vec c)=0 natanko tedaj, ko se vektorji \vec a,\vec b,\vec c linearno odvisni (tj. koplanarni);
  2. linearnost v vsaki komponenti: (\lambda_1 \vec a_1+ \lambda_2 \vec a_2 ,\vec b,\vec c)= \lambda_1 (\vec a_1,\vec b,\vec c)+\lambda_2 (\vec a_2,\vec b,\vec c);
  3. cikličnost: (\vec a,\vec b,\vec c)=(\vec b,\vec c,\vec a)=(\vec c,\vec a,\vec b)=-(\vec b,\vec a,\vec c)=-(\vec c,\vec b,\vec a)=-(\vec a,\vec c,\vec b).

Izrek (Lagrangeova identiteta): (\vec a\times\vec b)\cdot(\vec c\times \vec d)=(\vec a\cdot\vec c)(\vec b\cdot \vec d)- (\vec a\cdot\vec d)(\vec b\cdot \vec c).

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje MatR.3: Vektorski in mešani produkt

  1. nukly says:

    zelo dobro razloženo!!!

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s