Predavanje MatR.2: Linearna neodvisnost. Skalarni produkt

Definicija: Vektorji \vec a_1,\ldots, \vec a_n so linearno odvisni, če obstajajo skalarji \lambda_1,\ldots, \lambda_n\in\mathbb R, ki niso vsi enaki 0, za katere velja \lambda_1\vec a_1+\cdots+ \lambda_n \vec a_n=0. V nasprotnem primeru so vektorji \vec a_1,\ldots, \vec a_n linearno neodvisni. Ekvivalentno: noben od \vec a_i ni linearna kombinacija vseh ostalih \vec a_j.

Opazimo, da je vsaka množica vektorjev, ki vsebuje 0, linearno odvisna.

Zgled:

  1. Vektorja \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\in\mathbb R^2 sta linearno neodvisna.
  2. Vektorji \begin{bmatrix}1\\-1\\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\-1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\4\\-2\end{bmatrix}\in\mathbb R^3 so linearno odvisni.
  3. Vektorji \vec i=\begin{bmatrix}1\\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \vec j=\begin{bmatrix}0\\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \vec k=\begin{bmatrix}0\\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} iz \mathbb R^3 so linearno neodvisni. Imenujemo jih standardna baza prostora \mathbb R^3.

Zgled:

  1. Vektor \vec a je linearno neodvisen natanko tedaj, ko \vec a\neq 0.
  2. Neničelna vektorja \vec a,\vec b sta linearno odvisna natanko tedaj, ko ležita na isti premici (tj., ko sta kolinearna). V nasprotnem primeru vektorski podprostor V=\{\lambda \vec a+\mu \vec b \mid \lambda,\mu\in\mathbb R\} predstavlja ravnino, ki jo napenjata \vec a,\vec b in gre skozi izhodišče.
  3. Neničelni vektorji \vec a,\vec b,\vec c so linearno odvisni natanko tedaj, ko ležijo v isti ravnini (so koplanarni). V nasprotnem primeru so baza \mathbb R^3, saj lahko vsak vektor zapišemo kot enolično linearno kombinacijo \vec a,\vec b,\vec c.

I.3. Skalarni produkt

Definicija: Skalarni produkt dveh vektorjev \vec a=\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}, \vec b=\begin{bmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\in\mathbb R^3 je definiran kot \vec a\cdot \vec b:=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. To je torej preslikava {\textvisiblespace}\cdot{\textvisiblespace} : \mathbb R^3\times\mathbb R^3\to\mathbb R.

Lastnosti skalarnega produkta:

  1. pozitivna definitnost: \vec a\cdot\vec a\geq 0 za vsak vektor \vec a; hkrati je \vec a\cdot \vec a=0 natanko za \vec a=0;
  2. aditivnost: \vec a\cdot (\vec b+\vec c)= \vec a\cdot \vec b+ \vec a\cdot \vec c za vse vektorje \vec a,\vec b,\vec c;
  3. homogenost: (\lambda \vec a)\cdot \vec b= \lambda (\vec a\cdot \vec b) za vse vektorje \vec a,\vec b in skalarje \lambda;
  4. simetričnost: \vec a\cdot \vec b=\vec b\cdot \vec a za vse vektorje \vec a,\vec b.

Iz simetričnosti izpeljemo se nadaljnji lastnosti:

  • (\vec a+\vec b)\cdot\vec c= \vec a\cdot \vec c+ \vec b\cdot \vec c za vse vektorje \vec a,\vec b,\vec c;
  • \vec a\cdot (\lambda \vec b)= \lambda (\vec a\cdot \vec b) za vse vektorje \vec a,\vec b in skalarje \lambda.

Zgled: Vektorji \vec i,\vec j,\vec k se množijo takole: \vec i\cdot \vec i= \vec j\cdot \vec j=\vec k\cdot \vec k= 1, \vec i\cdot \vec j= \vec j\cdot \vec k=\vec k\cdot \vec i= 0.

Definicija: Dolžina vektorja \vec a je definirana kot |\vec a|=\sqrt{\vec a\cdot \vec a}=\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}. To je torej preslikava |\textvisiblespace |:\mathbb R^3\to\mathbb R_{\geq 0}.

Lastnosti dolžine:

  1. pozitivna definitnost: |\vec a|\geq 0 za vsak vektor \vec a; hkrati je |\vec a|=0 natanko za \vec a=0;
  2. homogenost: |\lambda \vec a|=|\lambda|\, |\vec a| za vse vektorje \vec a in skalarje \lambda;
  3. trikotniška neenakost: |\vec a+\vec b|\leq |\vec a|+|\vec b| za vse vektorje \vec a,\vec b.

Vpeljemo tudi razdaljo med točkama A,B v \mathbb R^3. To je d(A,B)=|\vec r_B-\vec r_A|=|\vec {AB}|.

Izrek: Naj bosta \vec a,\vec b vektorja. Potem je \vec a\cdot \vec b=|\vec a| \, |\vec b|\, \cos \varphi, kjer je \varphi\in [0,\pi] kot med vektorjema \vec a,\vec b.

Neenakost Cauchy-Schwarz-Bunjakowski: Za vektorja \vec a,\vec b  velja | \vec a\cdot \vec b|\leq |\vec a| \, |\vec b|.

Definicija: Vektorja \vec a,\vec b sta pravokotna, ce je \vec a\cdot \vec b=0.

This entry was posted in Matrični račun (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s