Predavanje RAG.4 → (poglavje 1)

Zaradi pomanjkanja časa sem prisiljen objaviti le zelo okrnjen povzetek predavanj. V kolikor je bilo možno, sem opremil snov z relevantnimi povezavami, kjer je moč najti večino snovi, ki smo jo pokrivali na predavanjih.

Poglavje 1.5 se je ukvarjalo z linearnim programiranjem, ki je obširno dokumentirano na internetu. Kot izhodiščno točko lahko priporočim kar wikipedijin članek, v tradicionalni elektronski knjižni obliki pa je dosegljiva npr. knjiga R. Vanderbei iz Princetona. Koncizen uvod najdemo tudi v skripti C. Scheidererja (Universität Konstanz), glej Kapitel 8.

Pojmi: linearni program, dualni program, šibka dualnost, krepka dualnost. grafično reševanje, metode notranjih točk.

V poglavju 1.6 smo si ogledali semidefinitno programiranje. Zaradi vzgona vede od začetka devetdesetih dalje je tudi literaturo na to temo preprosto poiskati na internetu. Začetna točka na wikipediji je ponovno vredna ogleda, čeprav morda tokrat ni tako močna. Obstajata pa pregledna članka:

  1. L. Vandenberghe (UCLA) in S. Boyd (Stanford): Semidefinite programming
  2. M. Todd (Cornell): Semidefinite optimization

Pojmi: semidefinitni program (SDP), dualni program, šibka dualnost, krepka dualnost, dualnostni razmik, SDP in pozitivni polinomi, SDP in optimizacija polinomov, dopustnost.

1.7 Izrek Hahn-Banach, Farkaseva lema, separacija konveksnih množic, Hilbertov Nullstellensatz. Izhodišče tega razdelka je bil prispevek T. Tao (UCLA), kjer je predstavil zanimiv dokaz Farkaseve leme s pomočjo indukcije. Na tradicionalen način izpeljemo nato Hahn-Banachov izrek in separacijo konveksnih množic. Hilbertov Nullstellensatz je osnoven izrek algebraične geometrije in ga nismo dokazovali.

Poglavje 1.8 je med drugim služilo kot predigra za 1.8, kjer smo se vrnili k obravnavi SDP s ciljem dokaza izreka o krepki dualnosti.

V 1.9 smo predstavili manjkajoči korak v dokazu Hilbertovega izreka iz leta 1888 (glej Predavanje RAG.2, izrek 6). In sicer smo pokazali, da je vsak nenegativni realni polinom stopnje 4 v 2 spremenljivkah vsota kvadratov polinomov. Ogledali smo si moderen dokaz avtorjev M.-D. Choi (Toronto) in T.-Y. Lam (UC Berkeley). Spotoma smo si ogledali še nekaj rezultatov iz konveksnosti v evklidskih prostorih, npr. Krein-Milmanov izrek in Caratheodoryjev izrek.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s