Predavanje LA.25: Operatorji v vektorskih prostorih s skalarnim produktom

Posted on 07 Jun 2009 by igorklep

Še naprej bodo vsi vektorski prostori, v kolikor ne bo omenjeno drugače, opremljeni s skalarnim produktom.

Poglavje VII: Operatorji v vektorskih prostorih s skalarnim produktom

VII.1. Adjungirani operator

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to V operator. Potem obstaja natanko en operator \mathcal A^*:V\to U z lastnostjo \langle \mathcal Au,v\rangle=\langle u,\mathcal A^* v\rangle za vse u\in U in v\in V.

Definicija: Operatorju \mathcal A^* pravimo adjungirani operator.

Trditev: Naj bo \mathcal A:U\to V operator in \{u_1,\ldots,u_n\} ortonormirana baza za U. Potem za vsak v\in V velja \mathcal A^*v=\sum_{i=1}^n \langle v,\mathcal Au_i\rangle u_i.

Trditev: Za adjungirani operator veljajo naslednje lastnosti:

  1. (\alpha \mathcal A)^*= \bar\alpha \mathcal A^*;
  2. (\mathcal A+\mathcal B)^*=\mathcal A^*+\mathcal B^*;
  3. (\mathcal A \mathcal B)^*=\mathcal B^* \mathcal A^*;
  4. (\mathcal A^*)^*=\mathcal A;
  5. 0^*=0 in I^*=I.

Definicija: Kompleksni matriki A\in M_{m\times n}(\mathbb C) priredimo hermitsko transponiranko A^h\in M_{n\times m}(\mathbb C) s predpisom A^h=\overline {A^t}, kjer je A^t transponiranka matrike A. Torej je A^h_{i,j}=\overline {A_{j,i}}.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to V operator, \mathcal B ortonormirana baza za U in \mathcal C ortonormirana baza za V. Potem je \mathcal A^*[\mathcal C,\mathcal B]= (\mathcal A[\mathcal B,\mathcal C])^h.

Lema: \ker \mathcal A^*=({\rm im}\,\mathcal A)^\perp.

Izrek (Schur): Za vsak endomorfizem \mathcal A:V\to V obstaja ortonormirana baza \mathcal B prostora V, da je matrika \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] zgornje trikotna.

VII.2. Normalni operatorji

Definicija: Endomorfizem \mathcal A:V\to V imenujemo normalen, če velja \mathcal A\mathcal A^*=\mathcal A^*\mathcal A. Matrika A je normalna, če je AA^h=A^hA.

Trditev: Endomorfizem \mathcal A:V\to V je normalen natanko tedaj, ko za vse u,v \in V velja \langle \mathcal Au, \mathcal Av\rangle=\langle \mathcal A^* u,\mathcal A^* v\rangle.

Posledica: Za normalen endomorfizem \mathcal A:V\to V velja \|\mathcal Av\|=\|\mathcal A^*v\| za vse v\in V.

Posledica: Za normalen endomorfizem \mathcal A:V\to V je \ker\mathcal A=\ker\mathcal A^*.

Izrek: Za normalen endomorfizem \mathcal A:V\to V obstaja ortonormirana baza \mathcal B prostora V, da je matrika \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] diagonalna.

V sklopu dokaza tega izreka opazimo, da sta lastna vektorja normalnega operatorja, ki pripadata različnim lastnim vrednostim, otogonalna. Hkrati je v lastni vektor za \mathcal A ob lastni vrednosti \lambda natanko tedaj, ko je v lastni vektor za \mathcal A^* ob lastni vrednosti \bar\lambda.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a comment