Predavanje LA.24: Rieszov izrek

VI.3. Ortogonalni komplementi

Še naprej bodo vsi vektorski prostori, v kolikor ne bo omenjeno drugače, opremljeni s skalarnim produktom.

Definicija: Naj bo V vektorski prostor in W\leq V. Potem W^\perp=\{u\in V\mid \forall w\in W:\, \langle u,w\rangle=0\} imenujemo ortogonalni komplement podprostora W.

Izrek: Naj bo V vektorski prostor in W\leq V. Potem je W^\perp \leq V in V=W\oplus W^\perp.

Posledica: Naj bo V vektorski prostor in W\leq V. Potem je:

  1. \dim(W)+\dim(W^\perp)=\dim (V);
  2. W=(W^\perp)^\perp.

VI.4. Dualni prostor in Rieszov izrek

Definicija: Naj bo U vektorski prostor nad \mathbb F. Vektorski prostor vseh linearnih preslikav U\to\mathbb F imenujemo dualni prostor prostora U in ga označimo z U^*. Elemente tega prostora imenujemo tudi linerni funkcionali.

Torej je U^*=\mathcal L(U,\mathbb F).

Trditev: \dim (U)=\dim(U^*).

Bazi \mathcal B=\{u_1,\ldots,u_n\} prostora U lahko priredimo dualno bazo \{f_1,\ldots,f_n\} prostora U^*. To tvorijo takšni linearni funkcionali f_i\in U^*, za katere velja f_i(u_j)=\delta_{i,j}=\begin{cases} 1 & i=j \\ 0 & i\neq j\end{cases}.

Izrek (Riesz): Naj bo V vektorski prostor s skalarnim produktom. Potem za vsak f\in V^* obstaja enoličen u_f\in V, da za vsak x\in V velja f(x)=\langle x,u_f\rangle.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s