Predavanje LA.23: Ortogonalnost

VI.2. Pravokotnost in ortogonalne baze

Od zdaj naprej bodo, v kolikor ne bo omenjeno drugače, vsi vektorski prostori opremljeni s skalarnim produktom.

Definicija: Kot \varphi\in [0,\pi] med dvema vektorjema u,v je tisti kot, ki zadošča \cos \varphi=\frac{ \langle u,v\rangle}{\|u\|\, \|v\|}.

Definicija: Vektorja u,v sta pravokotna (ortogonalna), če je njun skalarni produkt \langle u,v\rangle=0.

Definicija: Množica vektorjev M\subseteq V je ortogonalna, če sta poljubna različna vektorja iz M med sabo pravokotna. Če ima zraven tega še vsak vektor dolžino (normo) enako 1, potem M imenujemo ortonormirana.

Trditev: Vsaka ortogonalna množica vektorjev je linearno neodvisna.

Izrek (Gram-Schmidtova ortogonalizacija): Naj bo \{v_1,\ldots,v_n\} baza vektorskega prostora s skalarnim prostorom V. Tedaj je množica \{w_1,\ldots,w_n\}, kjer je \begin{array}{rcl} w_1 &=& v_1 \\ w_2&=&v_2-\frac{ \langle v_2,w_1\rangle}{\langle w_1,w_1\rangle} w_1 \\ & \vdots \\ w_n & = & v_n - \sum_{i=1}^{n-1} \frac{ \langle v_n,w_i\rangle}{\langle w_i,w_i\rangle} w_i\end{array}, ortogonalna baza za V.

Posledica: Vsak vektorski prostor s skalarnim prostorom V dopušča ortonormirano bazo.

Definicija: Vektorska prostora s skalarnim prostorom V_1,V_2 sta izomorfna, če obstaja obrnljiva linearna preslikava \mathcal A:V_1\to V_2, za katero velja \langle u,v\rangle_1=\langle \mathcal Au,\mathcal Av\rangle_2 za vse u,v\in V_1. Taki preslikavi pravimo izometrični izomorfizem.

Izrek: Vektorska prostora nad (\mathbb F) s skalarnim prostorom V_1,V_2 sta izomorfna natanko tedaj, ko imata isto dimenzijo.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s