Predavanje LA.22: Skalarni produkt

Poglavje VI: Skalarni produkt

Spomnimo se skalarnega produkta dveh vektorjev \vec a,\vec b\in\mathbb R^3: \vec a\cdot \vec b=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3. Lastnosti le tega nam služijo kot motivacija za posplošitev na splošen vektorski prostor nad \mathbb R ali \mathbb C.

V tem razdelku bo \mathbb F=\mathbb R ali \mathbb F=\mathbb C.

VI.1. Evklidski in unitarni prostori

Definicija: Naj bo V vektorski prostor nad \mathbb F. Tedaj je preslikava \langle \textvisiblespace\, , \textvisiblespace\rangle:V\times V\to\mathbb F skalarni produkt, če zadošča naslednjim lastnostim:

  1. \langle u,u\rangle \geq 0 za vse u\in V in \langle u,u\rangle=0 \quad \Leftrightarrow\quad u=0 (pozitivna definitnost);
  2. \langle u,v\rangle=\overline {\langle v,u\rangle} za vse u,v\in V ((poševna) simetričnost);
  3. \langle \alpha u+\beta v,w\rangle=\alpha \langle u,w\rangle+\beta \langle v,w\rangle za vse u,v\in V in \alpha,\beta\in\mathbb F (linearnost v prvi komponenti).

Opomba:

  1. Za vsak u\in V velja \langle u,0\rangle=\langle 0,u\rangle=0.
  2. \langle w,\alpha u+\beta v\rangle=\overline \alpha \langle w,u\rangle+\overline \beta \langle w,v\rangle za vse u,v\in V in \alpha,\beta\in\mathbb F (poševna linearnost v drugi komponenti).
  3. Če je \mathbb F=\mathbb R, potem je skalarni produkt simetričen in linearen v obeh komponentah. Taki preslikavi rečemo bilinearna.

Zgled:

  1. \mathbb R^2 ali \mathbb R^3 s standardnim skalarnim produktom. Primer na naraven način posplošimo na \mathbb R^n.
  2. V \mathbb C^n je standarden skalaren produkt sledeča perslikava: \langle x,y\rangle=\sum_{i=1}^n x_i \overline y_i.

Definicija: V vektorskem prostoru s skalarnim produktom V lahko vpeljemo normo s predpisom \|v\|=\sqrt{\langle v,v\rangle}.

Izrek (neenakost Cauchy-Schwarz-Bunjakowski): Za vektorja u,v vektorskega prostora s skalarnim produktom V velja |\langle u,v\rangle|\leq \|u\| \, \|v\|.

Posledica: Za poljubna realna števila x_1,\ldots,x_n,y_1,\ldots,y_n velja (\sum_i x_i y_i)^2 \leq (\sum_i x_i^2)(\sum_i y_i^2).

Trditev (trikotniška neenakost): Za vektorja u,v vektorskega prostora s skalarnim produktom V velja \|u+v\|\leq \|u\|+\|v\|.

Posledica: Norma \| \textvisiblespace \| : V \to \mathbb R_{\geq 0} ima naslednje lastnosti:

  1. \|x\|\geq 0 in \|x\|=0 natanko za x=0;
  2. \|\alpha x\|=|\alpha|\, \|x\|;
  3. \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|

za vse x,y\in V in \alpha\in\mathbb F.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s