RAG: 2.domača naloga (v nastajanju)

Na tej strani sestavljam drugi sklop domačih nalog. Končna verzija bo sestavljena nekje do konca maja. Pozor: predvidoma bo kakšna od spodaj navedenih nalog izpadla ali zamenjana z drugo nalogo.

  1. Pokaži, da 1-X^2 ne pripada predureditvi T_{(1-X^2)^3} , ki jo polinom (1-X^2)^3 generira v \mathbb R[X] .
  2. Dokaži, da za vsak n\in \mathbb N , velja 1-X^{2n}\in T_{1-X^2} .
  3. Naj bo C podmnožica \mathbb R^n , ki vsebuje vsaj n+2 elementa. Pokaži, da obstaja particija C=A\cup B , za katero velja

    \displaystyle  A\cap B=\emptyset, \quad {\rm conv}(A)\cap {\rm conv}(B)\neq\emptyset.

  4. Označimo s \Sigma_{\leq 2d} množico vseh vsot kvadratov polinomov v n spremenljivkah \bar X=(X_1,\ldots, X_n) , ki so stopnje \leq 2d . Pokaži, da obstaja N=N(d,n)\in\mathbb N , da je vsak element f\in\Sigma_{\leq 2d} vsota \leq N kvadratov. Poišči čim boljšo mejo za N .
  5. Dokaži, da je \Sigma_{\leq 2d} zaprta podmnožica končno-razsežnega prostora \mathbb R[\bar X]_{\leq 2d} .
  6. Ali ima \Sigma_{\leq 2d} kakšno notranjo točko?
  7. Naj bosta A,B pozitivno semidefinitni matriki enake velikosti in w poljuben produkt A -jev in B -jev dolžine \leq 5 . Dokaži, da je {\rm sled}(w)\geq 0 .
  8. Poišči vse realne x,y , ki zadoščajo sistemu enačb in neenakosti

    \displaystyle  \begin{array}{rcl} x^2+y^2 & = & 1 \\ 3y-x^3-2&\geq& 0 \\ x-8y^3&\geq&0 \end{array}

  9. Pokaži, da je polinom (X_1^2+X_2^2)^2 vsota četrtih potenc polinomov.
  10. Identiteta f= \frac {(f+1)^2}2-\frac{(f-1)^2}2 pokaže, da je vsak polinom razlika (vsot) kvadratov polinomov. Dokaži, da je vsak polinom razlika vsot n -tih potenc za vsak n\in\mathbb N .

zadnja sprememba: 22. maj 2009.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s