Predavanje LA.19: Projektorji, nilpotenti

V.2. Matrike in linearne preslikave posebne vrste

Definicija: Matrika P\in M_n(\mathbb C) je projektor, če velja P^2=P. Endomorfizem \mathcal P je projektor, če je \mathcal P^2=\mathcal P\circ \mathcal P=\mathcal P.

Zgled:

  1. 0,I sta projektorja.
  2. Pravokotna projekcija \mathbb R^2\to\mathbb R^2 na premico skozi izhodišče je projektor.
  3. Pravokotna projekcija \mathbb R^3\to\mathbb R^3 na ravnino vzdolž neke premice je projektor.
  4. Če je P projektor, je tudi I-P projektor.

Trditev: Minimalni polinom projektorja P\neq 0,I je m_P=X^2-X.

Izrek: Naj bo P\in M_n(\mathbb F) projektor. Potem je

  1. \ker P={\rm im}\, (I-P).
  2. \mathbb F^n={\rm im}\, P\oplus \ker P.
  3. Glede na razcep v točki 2 ima P matriko \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, kjer je zgornji levi blok velikosti \dim({\rm im}\, P) \times \dim({\rm im}\, P).

Zaradi točke 2 ponavadi pravimo, da projektor P projicira na {\rm im}\, P vzdolž \ker P.

Zgled: P=\begin{bmatrix}-1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 2\end{bmatrix} je projektor. Jedro P napenja \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix}, sliko P pa npr. prva stolpca matrike P. Glede na bazo \{ \begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -2\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix}\}, P pripada matrika \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}, hkrati pa je \mathbb R^3= Lin(\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ -2\end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}) \oplus Lin(\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -1\end{bmatrix}).

Zgled: Projektorju \mathcal P:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, ki projicira na Lin(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}) vzdolž Lin(\begin{bmatrix} 2 \\ 1\end{bmatrix}) glede na standardno bazo pripada matrika \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.

Definicija: Matrika A\in M_n(\mathbb C) je involucija, če velja A^2=I. Endomorfizem \mathcal A je involucija, če je \mathcal A^2=I.

Zgled:

  1. -I,I sta involuciji.
  2. Matrika \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} je involucija.

Trditev: Minimalni polinom involucije A\neq -I,I je m_A=X^2-1.

Izrek: Naj bo A\in M_n(\mathbb F) involucija. Potem je

  1. \ker (A-I)={\rm im}\, (A+I) in\ker (A+I)={\rm im}\, (A-I).
  2. \mathbb F^n=\ker (A-I) \oplus \ker (A+I).
  3. Glede na razcep v točki 2 ima A matriko \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & -I \end{bmatrix}.

Definicija: Matrika A\in M_n(\mathbb C) je nilpotentna, če obstaja k\in\mathbb N, da velja velja A^k=0. Endomorfizem \mathcal A je nilpotenten, če obstaja k\in\mathbb N, da velja velja \mathcal A^k=0. Najmanši tak k imenujemo red nilpotentnosti.

Zgled:

  1. \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -4 & -2\end{bmatrix} je nilpotent reda $2$.
  2. \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 1/2 & -1 & 0 \\ 42 & 0 & 0\end{bmatrix} je nilpotent reda 3.
  3. \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix} je nilpotent reda 2, \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} je nilpotent reda 3, itd.

Izrek: Matrika je nilpotentna natanko tedaj, ko je 0 njena edina lastna vrednost.

Posledica: Matrika je nilpotentna natanko tedaj, ko je podobna strogo zgornje trikotni matriki. Ekvivalentno: za vsako nilpotentno linearno preslikavo \mathcal A:U\to U obstaja baza za U, da je v njej \mathcal A prirejena matrika strogo zgornje trikotna.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s