Predavanje LA.18: Primarna dekompozicija, spektralni razcep

IV.7. Diagonalizabilne linearne preslikave in matrike

Definicija: Endomorfizem \mathcal A:U\to U je diagonalizabilen, če obstaja takšna baza \mathcal B za U, da je matrika \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] diagonalna. Kvadratni matriki pravimo diagonalizabilna, če je podobna kakšni diagonalni matriki.

Zgled:

  1. Ni vsaka realna matrika podobna kakšni realni diagonalni matriki, npr. A=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ -1 & 0\end{bmatrix} ni podobna nobeni realni diagonalni matriki. Je pa podobna B=\begin{bmatrix} i & 0 \\ 0 & -i \end{bmatrix}.
  2. Ni vsaka matrika podobna kakšni diagonalni matriki, npr. A=\begin{bmatrix} 0& 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}.

Trditev: Endomorfizem \mathcal A:U\to U je diagonalizabilen natanko tedaj, ko obstaja baza \mathcal B za U sestavljena iz lastnih vektorjev \mathcal A.

Izrek:  Endomorfizem \mathcal A:U\to U je diagonalizabilen natanko tedaj, ko ima minimalni polinom m_{\mathcal A} same različne ničle, tj., m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)\cdots (X-\lambda_r) in \lambda_i\neq \lambda_j za i\neq j

Posledica: Če ima matrika A\in M_n(\mathbb F) n različnih lastnih vrednosti, potem je diagonalizabilna.

Zgled: Obrat posledice očitno ne drži, kot nam pokaže npr. 2\times 2 identična matrika I_2.

Poglavje V: Jordanova kanonična forma

V.1. Invariantni podprostori, primarna dekompozicija in spektralni razcep

Definicija: Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem. Vektorski podprostor W\leq V je invarianten podprostor za \mathcal A, če za vsak w\in W velja \mathcal Aw\in W, tj., \mathcal AW\subseteq W.

Zgled:

  1. \{0\}, V sta vselej invariantna podprostora.
  2. Vsak lastni podprostor \mathcal A je invarianten za \mathcal A.
  3. Če je \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 rotacija (za nek kot) okrog \vec a, potem sta W_1=Lin(\vec a) in W_2=ravnina skozi izhodišče z normalo \vec a= \{\vec x\in\mathbb R^3 \mid \vec a\cdot \vec x=0\} invariantna podprostora za \mathcal A. Velja celo \mathbb R^3=W_1\oplus W_2.

Trditev: Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem, V=W_1\oplus W_2 \oplus \cdots \oplus W_r, kjer so vsi podprostori W_i invariantni za \mathcal A. Naj bodo \mathcal B_1,\ldots, \mathcal B_r baze za W_1,\ldots, W_r. Potem je \mathcal B=\mathcal B_1\cup\cdots\cup \mathcal B_r baza za V in \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_r\end{bmatrix}.

Definicija: Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem in m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)^{e_1}\cdots (X-\lambda_r)^{e_r} njegov minimalni polinom. Tedaj prostoru \ker \big( (\mathcal A-\lambda_i I)^{e_i}\big) pravimo posplošeni lastni podprostor (včasih tudi korenski podprostor) preslikave \mathcal A za lastno vrednost \lambda_i.

Opomba: Če je kakšen e_i=1, potem dobimo običajen lastni podprostor.

Lema: Vsak posplošeni lastni podprostor za \mathcal A je invarianten za \mathcal A.

Izrek (primarna dekompozicija): Naj bo \mathcal A:V\to V endomorfizem in m_{\mathcal A}=(X-\lambda_1)^{e_1}\cdots (X-\lambda_r)^{e_r}. Pišimo W_i=\ker \big( (\mathcal A-\lambda_i I)^{e_i}\big). Potem je V=W_1\oplus \cdots \oplus W_r.

Posledica (spektralni razcep): Ohranimo oznake iz prejšnjega izreka. Naj bodo \mathcal B_1,\ldots, \mathcal B_r baze za W_1,\ldots, W_r. Potem je \mathcal B=\mathcal B_1\cup\cdots\cup \mathcal B_r baza za V in \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix} A_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & A_2 & & 0 \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & A_r\end{bmatrix}.

Zgled: Naj bo \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 linearna preslikava \begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix} x+2y+z \\ x-y+z \\ 2x+z\end{bmatrix}. Tej preslikavi v standardni bazi \mathbb R^3 pripada matrika A= \begin{bmatrix} 1&2&1 \\ 1&-1&1 \\ 2& 0 & 1 \end{bmatrix}. Njej karakteristični polinom je p_A=- (\lambda+1)^2 (\lambda-3). Potem je (A+I)^2= \begin{bmatrix} 8&4&6 \\ 4&2&3 \\ 8&4&6 \end{bmatrix} in njeno jedro W_1=Lin( \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix},  \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2\end{bmatrix}). Podobno izračunamo še W_2=Lin( \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}). Glede na bazo \mathcal B=\{ \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 0\end{bmatrix},  \begin{bmatrix} 0 \\ -3 \\ 2\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 2\end{bmatrix}\} ima preslikava \mathcal A matriko \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=\begin{bmatrix} -3 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 3\end{bmatrix}.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje LA.18: Primarna dekompozicija, spektralni razcep

  1. Pingback: Predavanje LA.20: Jordanova kanonična forma « igor’s math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s