Predavanje LA.17: Karakteristični polinom in Cayley-Hamiltonov izrek

IV.5. Karakteristični polinom

Za izračun lastnih vrednosti v praksi vpeljemo:

Definicija: Za matriko A\in M_n(\mathbb F) je karakteristični polinom (v spremenljivki \lambda) enak p_A=\det(A-\lambda I_n)\in\mathbb F[\lambda].

Izrek: \lambda\in\mathbb F je lastna vrednost matrike A\in M_n(\mathbb F) natanko tedaj, ko je \lambda ničla polinom p_A, tj., p_A(\lambda)=0.

S pomočjo tega izreka lahko preprosto izračunamo lastne vrednosti matrike (ali endomorfizma).

Zgled: Karakteristični polinom C=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} je enak p_C=\det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ -3 & -2-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1\end{bmatrix}=-\lambda^3-\lambda=-\lambda(\lambda+i)(\lambda -i). Torej so lastne vrednosti C enake 0,i,-i.

Zgled: Karakteristični polinom splošne 2\times 2 matrike A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d\end{bmatrix} je enak p_A=\lambda^2-\lambda (a+d) + (ad-bc)= \lambda^2- ({\rm sled\,}A) \lambda+\det A.

Trditev: Karakteristični polinom A\in M_n(\mathbb F) je oblike p_A=(-1)^n\lambda^n +(-1)^{n-1}({\rm sled\,}A)\lambda^{n-1}+\cdots+ \det A.

Zgled: Podobni matriki imata isti karakteristični polinom. Obrat ne velja: matriki A=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1\end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} imata isti karakteristični polinom, pa si nista podobni.

Podobno kot smo to storili za kvadratne matrike, vpeljemo karakteristični polinom tudi za endomorfizem \mathcal A: p_{\mathcal A}=\det (\mathcal A-\lambda I_U). Ničle tega polinoma so natanko lastne vrednosti \mathcal A.

IV.6. Cayley-Hamiltonov izrek

Izrek (CayleyHamilton): Za vsak A\in M_n(\mathbb F) je p_A(A)=0.

Iz tega izreka sklepamo, da je p_A kandidat za minimalni polinom m_A matrike A.

Posledica: Minimalni polinom m_A matrike A deli karakteristični polinom p_A.

Zgled:

  1. Vrnimo se k matrikama A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}. Potem je m_A=-p_A=-p_B\neq m_B= (X-1)(X-2).
  2. Za še preprostejši primer si oglejmo n\times n identično matriko I_n. Velja p_{I_n}=(-1)^n(\lambda-1)^n in m_{I_n}=X-1.

Matrika A je obrnljiva natanko tedaj, ko je konstantni koeficient njenega karakterističnega polinoma neničeln. Če je temu tako, lahko A^{-1} izračunamo s pomočjo p_A=(-1)^n\lambda^n + a_{n-1}\lambda^{n-1}+\cdots+a_1 \lambda+a_0.

Zgled: Inverz obrnljive 2\times 2 matrike A je enak A^{-1}=\frac {1}{\det A} \big( ({\rm sled\,}A) I_2-A\big).

Spomnimo se, da je geometrična kratnost lastne vrednosti \lambda matrike A dimenzija lastnega prostora \dim(A-\lambda I).

Definicija: Algebraična kratnost lastne vrednosti \lambda matrike A je kratnost ničle \lambda polinoma p_A.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s