Predavanje LA.16: Minimalni in karakteristični polinom

IV.4. Minimalni polinom

Izrek: Naj bo U vektorski prostor nad \mathbb F in \mathcal A:U\to U endomorfizem. Tedaj obstaja polinom p\in\mathbb F[X] z p(\mathcal A)=0.

Če je p polinom, ki uniči \mathcal A, potem je tudi (pq)(\mathcal A)=p(\mathcal A)q(\mathcal A)=0 za vsak polinom q. V posebnem iz izreka sledi, da za vsak endomorfizem obstaja polinom z vodilnim koeficientom 1, ki ga uniči.

Definicija: Polinom z vodilnim koeficientom 1 imenujemo enični, ali včasih tudi monični. To je torej polinom oblike X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\cdots+a_1 X+a_0 in je n njegova stopnja.

Definicija: Minimalni polinom linearne preslikave \mathcal A:U\to U je enični polinom p najmanjše stopnje, za katerega je (\mathcal A)=0. Analogno definiramo tudi minimalni polinom kvadratne matrike A\in M_n(\mathbb F).

Trditev: Minimalni polinom je dobro definiran, tj., en sam.

Definicija: Minimalni polinom linearne preslikave \mathcal A:U\to U označimo z m_\mathcal A. Podobno pišemo m_A za minimalni polinom matrike A.

Izrek: \lambda\in\mathbb F je lastna vrednost endomorfizma \mathcal A:U\to U natanko tedaj, ko je \lambda ničla polinoma m_{\mathcal A}, tj., m_{\mathcal A}(\lambda)=0.

Soroden izrek velja za kvadratno matriko A in njene lastne vrednosti.

Zgled: Naj bosta A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} in B=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} kvadratni matriki. Obe matriki imata isti lastni vrednosti: 1,2. Obe uniči polinom (X-1)(X-2)^2. Vendar pa je (B-I_3)(B-2 I_3)=0 \neq (A-I)(A-2 I_3). Sledi m_A=(X-1)(X-2)^2 in m_B=(X-1)(X-2).

IV.5. Karakteristični polinom

Za izračun lastnih vrednosti v praksi vpeljemo:

Definicija: Za matriko A\in M_n(\mathbb F) je karakteristični polinom (v spremenljivki \lambda) enak p_A=\det(A-\lambda I_n)\in\mathbb F[\lambda].

Zgled: Karakteristična polinoma matrik A,B iz zadnjega zgleda sta p_A=p_B=-(\lambda-1)(\lambda-2)^2. Za C=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ -3 & -2 & -1 \\ 1 & 1 & 1\end{bmatrix} je enak p_C=\det \begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ -3 & -2-\lambda & -1 \\ 1 & 1-\lambda & 1\end{bmatrix}=-\lambda^3-\lambda.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s