Predavanje LA.14: Lastne vrednosti

Poglavje IV: Lastne vrednosti in lastni vektorji

IV.1. Osnove

Definicija: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem. Tedaj je \lambda\in\mathbb F lastna vrednost za \mathcal A, če obstaja tak 0\neq x\in U, da velja \mathcal Ax=\lambda x. Takšen vektor x imenujemo lastni vektor (pripadajoč lastni vrednosti \lambda).

Zgled:

  1. Naj bo \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 podan s predpisom \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ z\end{bmatrix}. Ta endomorfizem ima dve lastni vrednosti, \lambda=0 s pripadajočim lastnim vektorjem \begin{bmatrix}0 \\ y \\ 0\end{bmatrix} in \lambda=1 s pripadajočim lastnim vektorjem \begin{bmatrix}x \\ 0 \\ z\end{bmatrix}.
  2. Odvajanje \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 2}\to\mathbb R[X]_{\leq 2}, ki p\mapsto p', ima edino lastno vrednost 0, pripadajoč lastni vektor pa je vsak neničelni konstantni polinom.

Trditev: \lambda je lastna vrednost endomorfizma \mathcal A natanko tedaj, ko je \ker (\mathcal A-\lambda I)\neq\{0\}.

Izrek: Naj bo \lambda lastna vrednost za \mathcal A:U\to U. Potem je \{x\in U\mid \mathcal Ax=\lambda x\}\leq U.

Definicija: Prostor \{x\in U\mid \mathcal Ax=\lambda x\}\leq U pripadajoč lastni vrednosti \lambda endomorfizma \mathcal A:U\to U imenujemo lastni podprostor, njegova dimenzija pa je geometrična kratnost lastne vrednosti \lambda.

Zgled: V zgledu 1 od prej je geometrična kratnost lastne vrednosti 1 dva, geometrična kratnost lastne vrednosti 0 pa ena.

Izrek: Naj bodo \lambda_1,\ldots,\lambda_r paroma različne lastne vrednosti endomorfizma \mathcal A s pripadajočimi lastnimi vektorji x_1,\ldots,x_r. Potem so vektorji x_1,\ldots,x_r linearno neodvisni.

Zgled:

  1. V zgledu 1 od zgoraj, sta lastna vektorja za 1, \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ z\end{bmatrix} in za 0, \begin{bmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{bmatrix} očitno linearno neodvisna.
  2. Naj bo U vektorski prostor (neskončno) odvedljivih funkcij in \mathcal A:U\to U odvajanje. Potem za vsak a\in\mathbb R velja \mathcal A(e^{a\, x})=(e^{a\, x})'=a e^{a\, x}, torej je funkcija e^{a\, x} lastni vektor za \mathcal A s pripadajočo lastno vrednostjo a. Če torej vzamemo paroma različna realna števila a_1,\ldots,a_r, potem so funkcije e^{a_1\, x},\ldots,e^{a_r\, x} linearno neodvisne.

Definicija: Za kvadratno matriko A\in M_n(\mathbb F) je \lambda\in\mathbb F lastna vrednost, če obstaja 0\neq x\in\mathbb F^n, za katerega velja Ax=\lambda x. Podobno kot prej, x imenujemo lastni vektor.

Zgled: Naj bo A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n\end{bmatrix}. Potem so a_i lastne vrednosti za A s pripadajočimi lastnimi vektorji e_i.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem in A=\mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] matrika, ki mu pripada glede na bazo \mathcal B za U. Potem imata \mathcal A in A iste lastne vrednosti.

Fundamentalni izrek algebre pove, da ima vsak nekonstantni polinom p\in\mathbb C[X] stopnje n natanko n ničel (štetih s kratnostjo). Tako ga lahko razstavimo kot p=c (X-z_1)\cdots (X-z_n), kjer so z_i\in\mathbb C.

Ponavadi polinome p\in\mathbb F[X] vrednotimo (računamo njegove vrednosti) v \mathbb F, tj., računamo p(a) za nek a\in \mathbb F. Če je p=p_0+p_1 X+\cdots+p_n X^n, potem je p(a)=p_0+p_1 a+\cdots p_na^n. Hkrati pa lahko s tem predpisom računamo vrednosti p v točki A\in M_m(\mathbb F): p(A)=p_0+p_1A+\cdots+p_nA^n\in M_m(\mathbb F).

Izrek: Vsaka matrika A\in M_n(\mathbb F) premore kakšno lastno vrednost \lambda\in\mathbb C(!) in pripadajoč lastni vektor.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

2 Responses to Predavanje LA.14: Lastne vrednosti

  1. Pingback: Predavanje LA.15: Zgornje trikotne matrike « igor’s math Blog

  2. Pingback: Predavanje LA.17: Karakteristični polinom in Cayley-Hamiltonov izrek « igor’s math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s