Predavanje LA.13: Determinanta in sled linearne preslikave

Definicija: Naj bo \mathcal A endomorfizem U in A njemu prirejena matrika glede na neko bazo prostora U. Potem je determinanta preslikave \mathcal A, \det \mathcal A po definiciji enaka \det A.

Pri tem predpisu je treba premisliti dobro definiranost, saj lahko \mathcal A priredimo več različnih matrik, ki so odvisne od baze za U, ki jo izberemo. Ker pa sta si poljubni matriki A,B prirejeni \mathcal A podobni, obstaja obrnljiva matrika P (matrika prehoda med obema bazama!), da velja B=P^{-1}AP. Sledi \det B=\det (P^{-1} AP)=\det (P^{-1}) \det A \det P= (\det P)^{-1} \det A\det P=\det A, torej je \det\mathcal A res dobro definirana.

Zgled:

  1. Determinanta odvoda \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 3}\to\mathbb R[X]_{\leq 3} je enaka 0. Na primer, matrika prirejena temu odvodu glede na standardno bazo, je strogo zgornje trikotna.
  2. Determinanta rotacije okrog izhodišča za kot \varphi, je enaka 1.

Trditev: Endomorfizem \mathcal A:U\to U je obrnljiv natanko tedaj, ko je \det\mathcal A\neq 0.

Podobno kot smo to napravili z determinanto, naredimo še za sled.

Spomnimo se, da je sled kvadratne matrike vsota njenih diagonalnih elementov. Torej, če je A=\begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1}& \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}, potem je {\rm sled}\, A=a_{11}+\cdots+a_{nn}. Tako {\rm sled}:M_n(\mathbb F)\to\mathbb F postane linearna preslikava, njena glavna lastnost pa je {\rm sled}\,(AB)={\rm sled}\,(BA) za vse matrike A,B ustrezne velikosti.

Zgled: Morda velja omeniti, da v splošnem {\rm sled}\,(ABC)\neq {\rm sled}\,(ACB). Vzemimo npr. A=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}, B=\begin{bmatrix} 1& 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}, C=\begin{bmatrix} 0& 1\\ 0 & 0 \end{bmatrix}.Potem je {\rm sled}\,(ABC)=1\neq 0={\rm sled}\,(ACB).

Definicija: Naj bo \mathcal A endomorfizem U in A njemu prirejena matrika glede na neko bazo prostora U. Potem je sled preslikave \mathcal A, {\rm sled}\, \mathcal A po definiciji enaka {\rm sled}\, A.

Dajmo spet premisliti dobro definiranost. Ker sta si poljubni matriki A,B prirejeni \mathcal A podobni, obstaja obrnljiva matrika P, da velja B=P^{-1}AP. Sledi {\rm sled}\, B={\rm sled}\, (P^{-1} AP)={\rm sled}\, (A PP^{-1})={\rm sled}\, A, torej je {\rm sled}\,\mathcal A res dobro definirana.

Zgled:

  1. Sled odvoda \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 3}\to\mathbb R[X]_{\leq 3} je enaka 0. Na primer, matrika prirejena temu odvodu glede na standardno bazo, je strogo zgornje trikotna.
  2. Sled rotacije okrog izhodišča za kot \varphi, je enaka 2 \cos(\varphi).
This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s