Predavanje LA.12: Ekvivalentne in podobne matrike

Definicija: Dve (ne nujno kvadratni) matriki enake velikosti A,B sta ekvivalentni, če obstajata obrnljivi matriki P,Q, za kateri velja A=PBQ.

Preprosto je videti, da nam ta predpis poda ekvivalenčno relacijo (tj., refleksivna, simetrična, tranzitivna relacija) na M_{m\times n}(\mathbb F) za vsaka m,n\in\mathbb N.

Izrek: Dve matriki A,B\in M_{m\times n}(\mathbb F) sta ekvivalentni natanko tedaj, ko pripadata isti linearni preslikavi \mathbb F^n\to\mathbb F^m (v morda različnih bazah).

Vsaki matriki lahko priredimo linearno preslikavo in obratno, vsaki preslikavi lahko priredimo matriko. Rang matrike je enak rangu linearne preslikave, ki ji pripada. V posebnem imata ekvivalentni matriki enak rang.

Izrek: Naj bo \mathcal A\in\mathcal L(U,V), kjer je \dim(U)=n in \dim(V)=m. Potem obstajata bazi za U,V, da je matrika A prirejena \mathcal A glede na ti bazi oblike A=\begin{bmatrix} I_r & 0_{r\times (n-r)} \\ 0_{(m-r)\times r} & 0_{(m-r)\times (n-r)} \end{bmatrix}, kjer je r={\rm rang} (\mathcal A).

Tukaj smo uporabili bločni zapis matrike A: I_r pomeni identično matriko velikosti r\times r, za naravni števili p,q pa 0_{p\times q} pomeni ničelno matriko velikosti p\times q.

Posledica: Vsaka matrika B\in M_{m\times n}(\mathbb F) je ekvivalentna matriki oblike \begin{bmatrix} I_r & 0_{r\times (n-r)} \\ 0_{(m-r)\times r} & 0_{(m-r)\times (n-r)} \end{bmatrix} za r={\rm rang} (B).

Posledica: Če imata matriki (enake velikosti) isti rang, sta ekvivalentni.

Povzetek: Dve matriki A,B\in M_{m\times n}(\mathbb F) sta ekvivalentni natanko tedaj, ko imata isti rang.

Definicija: Dve kvadratni matriki enake velikosti A,B sta si podobni, če obstaja obrnljiva matriki P, za katero velja A=P^{-1}BP.

Preprosto je videti, da nam ta predpis poda ekvivalenčno relacijo (tj., refleksivna, simetrična, tranzitivna relacija) na M_{n\times n}(\mathbb F) za vsak n\in\mathbb N.

Če sta si matriki podobni, potem sta tudi ekvivalentni, pri čemer obrat (tudi za kvadratne matrike) ne velja.

Izrek: Dve matriki A,B\in M_{n\times n}(\mathbb F) sta si podobni natanko tedaj, ko pripadata isti linearni preslikavi \mathbb F^n\to\mathbb F^n (v morda različni bazi za \mathbb F^n).

Tukaj velja poudariti, da imamo opravka z endomorfizmi. Torej pri prirejanju matrik uporabimo isto bazo na obeh straneh linearne preslikave (tj., na domeni in kodomeni).

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

3 Responses to Predavanje LA.12: Ekvivalentne in podobne matrike

  1. Pingback: Predavanje LA.13: Determinanta in sled linearne preslikave « igor’s math Blog

  2. Pingback: Predavanje LA.17: Karakteristični polinom in Cayley-Hamiltonov izrek « igor’s math Blog

  3. delavnica says:

    “Obrnljiva” matrika? Se ne spomnim več, kaj bi to bilo sigurno sem presanjal ta del…

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s