Predavanje LA.11: Sprememba baze

Izrek:

  1. Naj bo A matrika prirejena preslikavi \mathcal A:U\to V glede na izbrani bazi prostorov U,V in \alpha\in\mathbb F. Tedaj je matrika prirejena preslikavi \alpha \mathcal A glede na isti bazi, enaka \alpha A.
  2. Naj bosta A, B matriki prirejeni preslikavama \mathcal A,\mathcal B:U\to V glede na izbrani bazi prostorov U,V. Potem je matrika prirejena preslikavi \mathcal A+\mathcal B glede na isti bazi, enaka A+B.
  3. Naj bosta A, B matriki prirejeni preslikavama \mathcal A:U\to V, \mathcal B:W\to U glede na izbrane baze prostorov U,V,W. Potem je matrika prirejena preslikavi \mathcal A\circ\mathcal B glede na iste baze, enaka AB.

III.3. Sprememba baze in podobne matrike

Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava, \mathcal B=\{u_1,\ldots, u_n\} baza za U in \mathcal C=\{v_1,\ldots,v_m\} baza za V. Za vektor u\in U bomo njegov razvoj po bazi \mathcal B označili z u[\mathcal B]. Torej, če je u=\sum_{i=1}^n \alpha_i u_i, potem je u[\mathcal B]=\begin{bmatrix} \alpha_1 \\ \vdots \\ \alpha_n\end{bmatrix}. S pomočjo teh oznak lahko enakost v=\mathcal A(u) zapišemo kot v[\mathcal C]=\mathcal A[\mathcal B,\mathcal C] u[\mathcal B], glej npr. prejšnje predavanje.

Definicija: Naj bosta \mathcal B=\{u_1,\ldots, u_n\} in \mathcal C=\{v_1,\ldots,v_n\} bazi prostora U. Tedaj obstajajo p_{ij}\in\mathbb F, za katere velja v_j=\sum_{i=1}^n p_{ij}u_i za vse j. Matriko P[\mathcal C,\mathcal B]=\begin{bmatrix} p_{11} & \cdots & p_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ p_{n1} & \cdots & p_{nn}\end{bmatrix} imenujemo matrika prehoda iz baze \mathcal B do baze \mathcal C.

Izrek: Naj bo u\in U in \mathcal B=\{u_1,\ldots, u_n\}, \mathcal C=\{v_1,\ldots,v_n\} bazi prostora U. Potem velja:

  1. u[\mathcal B]=P[\mathcal C,\mathcal B] u[\mathcal C].
  2. Matrika P[\mathcal C,\mathcal B] je obrnljiva in $P[\mathcal C,\mathcal B]^{-1}=P[\mathcal B,\mathcal C].

Naslednji rezultat nam pove, kako se spremeni matrika, če spremenimo baze vektorskih prostorov. Naj bo torej \mathcal A:U\to V linearna preslikava, \mathcal B,\mathcal B' bazi za $U$ in \mathcal C,\mathcal C' bazi za $V$.

Izrek: \mathcal A[\mathcal B',\mathcal C']=P[\mathcal C,\mathcal C'] \mathcal A[\mathcal B,\mathcal C] P[\mathcal B',\mathcal B].

Posledica: Naj bo A:U\to U endomorfizem in \mathcal B,\mathcal C bazi za U. Tedaj velja \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]=P[\mathcal C,\mathcal B] \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C] P[\mathcal B,\mathcal C]=P[\mathcal C,\mathcal B] \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C] P[\mathcal C,\mathcal B]^{-1} .

Zgled: Poiščimo matriko, ki v standardni bazi prostora \mathbb R^3 pripada projektorju na ravnino x+y-z=0 vzdolž premice x=y=z. Naj bo \mathcal B=\{e_1,e_2,e_3\} standardna baza \mathbb R^3, za \mathcal C pa vzemimo vektorje \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1\end{bmatrix}. Pri tem prva dva vektorja ležita na podani ravnini (sta tudi linearno neodvisna), tretji pa je smerni vektor podane premice. Ker ta premica ne leži na ravnini, je \mathcal C baza \mathbb R^3.

Sedaj je \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C]=\begin{bmatrix} 1& 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} in P[\mathcal C,\mathcal B]=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{bmatrix}. Sledi P[\mathcal B,\mathcal C]=P[\mathcal C,\mathcal B]^{-1}=\begin{bmatrix} -1 & -1 & 2 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{bmatrix}. Iskana matrike je torej \mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]= P[\mathcal C,\mathcal B] \mathcal A[\mathcal C,\mathcal C] P[\mathcal B,\mathcal C]= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ -1 & -1 & 2 \end{bmatrix}. Pravilnost računa lahko preiskusimo tako, da preverimo, da ta matrika slika prva dva vektorja iz \mathcal C sama nase, zadnjega pa v ničelni vektor.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

3 Responses to Predavanje LA.11: Sprememba baze

  1. Pingback: Predavanje LA.13: Determinanta in sled linearne preslikave « igor’s math Blog

  2. goba says:

    Super, pregleden in zato uporaben blog. Ena tipkarska napaka (če se ne motim): prvi člen v matriki P[C,B] iz Zgleda mora biti 1 in ne -1.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s