Izbrana poglavja iz algebre – 4.domača naloga

1. Naj bodo {\varphi_1,\ldots,\varphi_n} različni multiplikativni funkcionali na algebri {A}. Dokaži, da so linearno neodvisni.

2. Pokaži, da za Hilbertov prostor {\mathcal H}, algebra {B(\mathcal H)} ne premore netrivialnih multiplikativnih linearnih funkcionalov.

3. Ali za vse elemente {a,b,c} poljubne Banachove algebre {A} velja {\sigma(abc) \cup\{0\}=\sigma(cba)\cup\{0\}}? Ali velja {\sigma(abc) \cup\{0\}=\sigma(cab)\cup\{0\}}?

4. Naj bo {f} linearni funkcional na {M_n(\mathbb C)}. Dokaži ekvivalentnost pogojev:

(i) obstaja tak {\lambda\in \mathbb C}, da je {f(A)=\lambda\, {\rm sled}(A)} za vse {A\in M_n(\mathbb C)};

(ii) {f(AB-BA)=0} za vse {A,B\in M_n(\mathbb C)};

(iii) {f(TAT^{-1}) = f(A)} za vse {A\in M_n(\mathbb C)} in vse obrnljive {T\in M_n(\mathbb C)};

(iv) obstaja tak {C > 0}, da je {|f(A)| \le Cr(A)} za vse {A\in M_n(\mathbb C)}.

5. Dokaži, da je vsaka končno-razsežna Banachova algebra izomorfna podalgebri matrik {M_n({\mathbb C})}.

6. Naj bo {E} množica idempotentov polenostavne Banachove algebre {A}. Dokaži, da {e\in E} leži v centru algebre {A} natanko tedaj, ko je {\sup \{r(fe)\,|\, f\in E\}< \infty}.

7. Naj bo {A} polenostavna Banachova algebra. Denimo, da obstaja tak {0\ne a\in A}, da je operator {L_a:x\mapsto ax} kompakten. Dokaži, da potem {A} vsebuje neničelni končno-razsežni desni ideal. (Nasvet: splošni primer reduciraj na primer, ko je {r(a) > 0}, in zatem uporabi znane lastnosti spektra kompaktnih operatorjev.)

8. Naj bo {I} zaprt ideal Banachove algebre {A}, in naj bosta {S,T:I\rightarrow A} taka linearna operatorja, da je {S(x)y = xT(y)} za vse {x,y\in I}. Dokaži, da sta {S} in {T} zvezna, če je {A} praalgebra (to pomeni, da je produkt njenih dveh neničelnih idealov neničeln).

9. Dokaži, da je surjektivni jordanski homomorfizem iz Banachove algebre {B} na polenostavno Banachovo algebro {A} zvezen. (Linearna preslikava {\theta:B\rightarrow A} je jordanski homomorfizem, če je {\theta(ab+ba)=\theta(a)\theta(b) + \theta(b)\theta(a)} za vse {a,b\in B}.)

10. Naj bo {d} zvezno odvajanje na Banachovi algebri {A}. Dokaži, da so lastni vektorji operatorja {d}, katerih pripadajoča lastna vrednost je neničelna, lahko le nilpotentni elementi iz {A}.

11. Naj bo {d:x\mapsto [a,x]} notranje odvajanje na polenostavni Banachovi algebri {A}. Dokaži ekvivalentnost pogojev:

(i) {d^3=0};

(ii) {d^4=0};

(iii) za vsak primitivni ideal {P} algebre {A} obstaja tak {\alpha=\alpha_P\in\mathbb C}, da je {(a-\alpha)^2 \in P}.

12. Naj bo {A} Banachova algebra in {e_1,e_2,e_3,e_4\in A} idempotenti, katerih vsota je {0}. Pokaži, da je {e_1=e_2=e_3=e_4=0}.

Rok za oddajo nalog je 4.5.2009.

Domača naloga v pdf obliki.

This entry was posted in Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Izbrana poglavja iz algebre – 4.domača naloga

  1. Pingback: Izbrana poglavja iz algebre – 4.domača naloga. Rezultati « igor’s math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s