Predavanje LA.9: Izomorfizmi vektorskih prostorov

Definicija: Linearna preslikava \mathcal A:U\to V je izomorfizem, če obstaja linearna preslikava \mathcal B:V\to U, za katero velja \mathcal A\circ\mathcal B={\rm id}_{V} in \mathcal B\circ\mathcal A={\rm id}_{U}. Preslikavi \mathcal B pravimo inverz preslikave \mathcal A in jo označimo z \mathcal A^{-1}.
Vektorska prostora U,V sta izomorfna, če obstaja izomorfizem \mathcal A:U\to V. V tem primeru pišemo U\cong V.

Izrek: Linearna preslikava \mathcal A:U\to V je izomorfizem tedaj in natanko tedaj, ko je \ker\mathcal A=\{0\} in {\rm im}\,\mathcal A=V.

Po tem izreku so izomorfizmi natanko bijektivne linearne preslikave. Spomnimo se, da preslikavi rečemo bijektivna, kadar je injektivna in surjektivna hkrati.

Zgled:

  1. \mathbb R^4\cong M_2(\mathbb R);
  2. \mathbb R^5\cong \mathbb R[X]_{\leq 4}.

Trditev: Če je linearna preslikava \mathcal A:U\to V injektivna, tedaj je U\cong {\rm im}\, \mathcal A.

Izomorfizmu, ki vektorski prostor slika sam vase, pravimo avtomorfizem. Množici vseh avtomorfizmov U\to U pravimo grupa avtomorfizmov vektorskega prostora U in jo označimo z {\rm GL}(U).

Trditev: {\rm GL}(U) je za operacijo kompozitum grupa.

Izrek: Naj bosta U,V končno-dimenzionalna vektorska prostora. Potem je U\cong V tedaj in natanko tedaj, ko je \dim(U)=\dim(V).

Posledica: Za n-dimenzionalen \mathbb F-vektorski prostor U velja U\cong \mathbb F^n.

Zgled:

  1. Za poljubni naravni števili n,r je M_{n\times r}(\mathbb R)\cong \mathbb R^{n r}.
  2. Naj bo A=\begin{bmatrix} 0 &1&2\\ 3 & 4 & 5\end{bmatrix}\in M_{2\times 3}(\mathbb R) in \mathcal A_A tej matriki prirejena linearna preslikava \mathbb R^3\to\mathbb R^2. Potem je \mathcal A_A surjektivna, ni pa injektivna.
  3. Naj bo B=\begin{bmatrix} 0 &1 \\ -1 &0 \\ 2&4\end{bmatrix}\in M_{3\times 2}(\mathbb R) in \mathcal A_B tej matriki prirejena linearna preslikava \mathbb R^2\to\mathbb R^3. Potem je \mathcal A_B injektivna, ni pa surjektivna.
  4. V splošnem za C\in M_n(\mathbb R) velja \mathcal A_C je izomorfizem tedaj in le tedaj, ko je matrika C obrnljiva.
This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s