Predavanje LA.8: Prostor linearnih preslikav

Definicija: Za vektorska prostora U,V z \mathcal L(U,V) označimo množico vseh linearnih prelikav U\to V. V tej množici vpeljemo seštevanje in množenje s skalarji na sledeč način. Za \mathcal A,\mathcal B\in\mathcal L(U,V) in \alpha\in\mathbb F definiramo preslikavo \mathcal A+\mathcal B:U\to V s predpisom (\mathcal A+\mathcal B)(u)=\mathcal A(u)+\mathcal B(u) za u\in U. Analogno je (\alpha \mathcal A)(u)=\alpha \mathcal A(u).

Zgled: Za poljuben 0 \neq \vec a\in\mathbb R^3 vpeljemo linearno preslikavo \mathcal A_{\vec a}:\mathbb R^3\to\mathbb R, \vec u\mapsto \vec a\cdot\vec u. Velja \mathcal A_{\vec a}+\mathcal A_{\vec b}=\mathcal A_{\vec a+\vec b} in \alpha \mathcal A_{\vec a}=\mathcal A_{\alpha \vec a} za vse \alpha\in\mathbb R in \vec a,\vec b\in\mathbb R^3.

Trditev: \mathcal L(U,V) je vektorski prostor.

Definicija: Na običajen način vpeljimo kompozitum (komponiranje) linearnih preslikav. Za \mathcal A\in\mathcal L(U,V) in \mathcal B\in\mathcal L(V,W) je \mathcal B\circ\mathcal A\in\mathcal L(U,W) tista linearna preslikava, ki pošlje u\in U v \mathcal B(\mathcal A(u)).

Zgled: Matriki A\in M_{n}(\mathbb R) priredimo linearno preslikavo \mathcal A_A:\mathbb R^n\to \mathbb R^n, u\mapsto Au. Potem je \mathcal A_A\circ\mathcal A_B=\mathcal A_{AB}, če je B\in M_{n}(\mathbb R).

Izrek: \mathcal L(U,U) je algebra z enoto. Če je \dim U>1, potem je nekomutativna.

To pomeni, da je \mathcal L(U,U) vektorski prostor, ki ima dodatno notranjo operacijo (komponiranje), za katerega velja

  1. asociativnost: \mathcal A\circ(\mathcal B\circ\mathcal C)=(\mathcal A\circ\mathcal B)\circ\mathcal C;
  2. desna distributivnost: \mathcal A\circ(\mathcal B+\mathcal C)=\mathcal A\circ\mathcal B+\mathcal A\circ\mathcal C;
  3. leva distributivnost: (\mathcal A+\mathcal B)\circ\mathcal C=\mathcal A\circ\mathcal C+\mathcal B\circ\mathcal C;
  4. \alpha(\mathcal A\circ \mathcal B)=(\alpha\mathcal A)\circ \mathcal B=\mathcal A\circ (\alpha\mathcal B)
  5. obstoj enote: obstaja \mathcal I\in\mathcal L(U,U), ki je nevtralen element za komponiranje, tj., \mathcal I\circ\mathcal A=\mathcal A\circ\mathcal I=\mathcal A

za vse \alpha\in\mathbb F, \mathcal A,\mathcal B,\mathcal C\in\mathcal L(U,U).

Algebro imenujemo nekomutativna, če obstajata elementa \mathcal A,\mathcal B, za katera je \mathcal A\circ\mathcal B \neq \mathcal B\circ\mathcal A.

Definicija: \mathcal L(U,U) imenujemo algebra endomorfizmov vektorskega prostora U, njene elemente pa endomorfizme U.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s