Predavanje LA.7: Slika linearne preslikave

Definicija: Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava. Tedaj množici {\rm im}\, \mathcal A:=\{v\in V\mid \exists u\in U:\, \mathcal A(u)=v\} pravimo slika (ali tudi imidž) preslikave \mathcal A.

Trditev: Za vsako linearno preslikavo \mathcal A:U\to V je {\rm im}\, \mathcal A\leq V.

Zgled:

  1. Imidž ničelne preslikave \mathcal A:U\to V je {\rm im}\, \mathcal A=\{0\}.
  2. Imidž identične preslikave \mathcal I:U\to U je {\rm im}\, \mathcal A=U.
  3. Za poljuben 0 \neq \vec a\in\mathbb R^3 je slika preslikave \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R, \vec u\mapsto \vec a\times\vec u enaka {\rm im}\, \mathcal A=\mathbb R.
  4. Naj bo \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq n}\to \mathbb R[X]_{\leq n} odvajanje, tj. \mathcal A(p)=p' za vsak p\in \mathbb R[X]_{\leq n}. Potem je {\rm im}\, \mathcal A=\mathbb R[X]_{\leq n-1}.
  5. Za odvajanje \mathcal A:\mathbb R[X]\to \mathbb R[X] je {\rm im}\, \mathcal A=\mathbb R[X].
  6. Vzemimo obrnljivo matriko A\in M_n(\mathbb R) in si oglejmo njej prirejeno linearno preslikavo \mathcal A_A:\mathbb R^n\to\mathbb R^n, x\mapsto Ax. Velja {\rm im}\, \mathcal A_A=\mathbb R^n.
  7. Splošneje, če je podana matrika A\in M_{m\times n}(\mathbb R), potem za njej prirejeno linearno preslikavo \mathcal A_A:\mathbb R^n\to\mathbb R^m velja {\rm im}\, \mathcal A_A= Lin(u_1,\ldots,u_n), kjer so u_1,\ldots, u_n stolpci matrike A.

Opomba: Preslikava \mathcal A:U\to V je surjektivna, če velja {\rm im}\, \mathcal A=V.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava. Tedaj velja \dim U=\dim (\ker \mathcal A)+\dim({\rm im}\, \mathcal A).

Definicija: Za linearno preslikavo \mathcal A:U\to V imenujemo {\rm rang}(\mathcal A):=\dim({\rm im}\, \mathcal A) rang preslikave \mathcal A, n(\mathcal A):=\dim(\ker \mathcal A) pa je ničelnost preslikave \mathcal A.

S temi novimi oznakami lahko zaključek izreka formuliramo kot \dim U={\rm rang}(\mathcal A)+n(\mathcal A).

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje LA.7: Slika linearne preslikave

  1. Pingback: Predavanje LA.12: Ekvivalentne in podobne matrike « igor’s math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s