RAG: Prva domača naloga (v nastajanju)

Na tej strani se bo sestavljal prvi sklop domačih nalog. Končna verzija bo sestavljena nekje do začetka aprila.

  1. Naj bo n\in\mathbb N, X_1,\ldots,X_n spremenljivke, \bar X=(X_1,\ldots,X_n) in si oglejmo polinom \displaystyle h:=X_1^{2n}+\cdots+X_n^{2n}-n X_1^2\cdots X_n^2\in \mathbb R[\bar X]. Pokaži, da velja\displaystyle 2 (n-1)! h=\sum !\; (X_1^2-X_2^2) \Big( ( X_1^{2n-2}-X_2^{2n-2}) + ( X_1^{2n-4}-X_2^{2n-4})X_3^2+ ( X_1^{2n-6}-X_2^{2n-6})X_3^2 X_4^2+ \cdots + ( X_1^{2}-X_2^{2})X_3^2 \cdots X_n^2 \Big), kjer \sum ! pomeni seštevanje po vseh možnih permutacijah indeksov \{1,2,\ldots,n\}.
  2. Vzemimo A\in S\mathbb R^{n\times n}, B\in\mathbb R^{n\times m} in D\in S\mathbb R^{m\times m}. Hkrati predpostavimo, da je matrika A obrnljiva. Dokaži:\begin{bmatrix} A& B \\ B^t & D \end{bmatrix} \succeq 0 tedaj in le tedaj, ko je A\succeq 0 in D-B^t A^{-1} B \succeq 0.
  3. Poišči vsa realna števila x, za katera je matrika \left[\begin{smallmatrix} 2 & x & 0 & 0 & 0 \\ x & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & x & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & x & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & x \end{smallmatrix}\right] pozitivno semidefinitna.
  4. Naj bo \mathcal B=\{x\in\mathbb R^n \mid x^t x-1\leq 0\} enotska krogla v \mathbb R^n in \mathcal E=\{x\in\mathbb R^n \mid x^t A x+ 2 b^t x+ c\leq 0\} elipsoid. Pri tem je A\in S\mathbb R^{n\times n} pozitivno definitna, b,c\in\mathbb R^n. Pokaži: \mathcal B\supseteq\mathcal E tedaj in natanko tedaj, ko obstaja \tau\in\mathbb R_{>0} z lastnostjo \begin{bmatrix} I_n & 0 \\ 0 & -1\end{bmatrix} \preceq \tau \begin{bmatrix} A & b \\ b^t & c\end{bmatrix}.
  5. Polinom s=Z^4+X^2 Z^2-2 XYZ^2+X^2Y^2\in\mathbb R[X,Y,Z] je očitno vsota kvadratov polinomov. Poišči vse razcepe s na vsoto kvadratov.
  6. Pokaži, da za pozitivna realna števila x,y,z velja \displaystyle\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y}\geq\frac 32.
  7. Naj bo \mathcal C=\{x\in\mathbb R^n \mid Ax\leq b\} neprazna množica rešitev linearne neenačbe za A\in\mathbb R^{m\times n} in b\in\mathbb R^m. Pokaži, da v \mathcal C obstaja natanko ena točka, ki je najbližje izhodišču.
  8. Tovarna Ibej proizvaja dva produkta (recimo jima A in B) in ima 6 EUR dobička na vsako prodano enoto A in 10 EUR dobička na vsako prodano enoto izdelka B. V proizvodnji sta oba izdelka sestavljena na tekočem traku, pri čemer je ena enota A izdelana v 10 minutah, enota B pa v 18 minutah. Hkrati se lahko zaradi vzdrževalnih del tekoči trak uporablja le 30 ur na teden. Iz sistemskih razlogov mora tovarna na vsakih 5 enot A pridelati vsaj 2 enoti B.
  • Ibej želi vsak teden maksimirati dobiček. Zapiši to optimizacijsko nalogo kot linearni program.
  • Reši dobljeni linearni program.
  • Konkurenčna tovarna Ibeju ponudi še en tekoči trak, s katerim bi lahko podvojili obratovalni čas. Koliko največ naj Ibej ponudi za tedenski najem tekočega traka?

zadnja sprememba: 15. april 2009.

Obvestilo: naloge so v končni obliki; glej to povezavo.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s