Predavanje RAG.1: Pozitivni polinomi ene realne spremenljivke in neenakosti

1. Pozitivni polinomi in vsote kvadratov

Za začetek vpeljimo nekaj oznak, ki se bodo uporabljale vseskozi: {\mathbb R} je obseg realnih števil, {\mathbb N} je množica naravnih števil, {\mathbb N}_0:={\mathbb N}\cup\{0\} , {\mathbb Z} je kolobar celih števil, \mathbb Q je obseg racionalnih števil in {\mathbb C} je obseg kompleksnih števil.

Hkrati bomo z \mathbb R_{>0} označevali množico vseh pozitivnih realnih števil, z \mathbb R_{\geq 0} pa množico vseh nenegativnih realnih števil.

\mathbb R[X] je kolobar realnih polinomov ene spremenljivke, \mathbb R[\bar X] pa kolobar realnih polinomov n spremenljivk \bar X=(X_1,\ldots,X_n).

1.1. Realni polinomi ene spremenljivke

V tem razdelku se bomo ukvarjali z elementi {\mathbb R} [X] .

Izrek 1 (Gauß) Polinom f\in{\mathbb R} [X] je nenegativen natanko tedaj, ko je vsota kvadratov polinomov.

Z \sum{\mathbb R}[X]^2 bomo označili množico vseh vsot kvadratov polinomov.

Posledica 2 f\in\sum{\mathbb R}[X]^2 \quad \iff \quad \exists g,h\in{\mathbb R}[X]:\, f=g^2+h^2 .

Zgled 3 Zapis polinoma kot vsote kvadratov ne rabi biti enoličen:

\displaystyle  (2x)^2+(\sqrt 2(x^2+1))^2=(x^2+\sqrt 2x+1)^2+(x^2-\sqrt 2x+1)^2.

Naloga 4 Poišči minimum polinoma X^4+X^3+X^2+2 .

1.2. Neenakost med aritmetično in geometrijsko sredino

Za a,b\in{\mathbb R}_{\geq 0} velja

\displaystyle  \frac {a+b}2\geq \sqrt{ab}.

Zakaj že? Ker sta a,b\geq 0 , imata kvadratni koren, npr. \alpha,\beta\in{\mathbb R} z \alpha^2=a in \beta^2=b . Potem je

\displaystyle  \frac{a+b}2-\sqrt{ab}=\frac 12(\alpha-\beta)^2\geq 0.

Na podoben način bomo spodaj preverili pravilnost splošne neenakosti med aritmetično in geometrijsko sredino.

Fiksirajmo n\in{\mathbb N} in naj bo \bar X=(X_1,\ldots,X_n) . Z {\mathbb R}[\bar X] označimo kolobar realnih polinomov v n spremenljivkah. Kot zgoraj, z \sum{\mathbb R}[\bar X]^2 označimo vse vsote kvadratov v \mathbb R[\bar X].

Trditev 5 f\in\sum{\mathbb R}[\bar X]^2 \quad \Rightarrow \quad f|_{{\mathbb R}^n}\geq 0 .

Omenjena neenakost trdi, da za vse a_1,\ldots,a_n\in{\mathbb R}_{\geq 0} velja

\displaystyle  \frac{a_1+\cdots+a_n}n\geq \sqrt[n]{a_1\cdots a_n}.

Podobno kot prej zamenjamo a_i z X_i^{2n} . Tako vidimo, da zadošča dokazati nenegativnost polinoma h:=X_1^{2n}+\cdots+X_n^{2n}-n X_1^2\cdots X_n^2 .

Izrek 6 (Hurwitz) X_1^{2n}+\cdots+X_n^{2n}-n X_1^2\cdots X_n^2\in\sum{\mathbb R}[\bar X]^2 .

Glavni del dokaza je preveriti identiteto

\displaystyle  2 (n-1)! h=\sum ! (X_1^2-X_2^2) \Big( ( X_1^{2n-2}-X_2^{2n-2}) + ( X_1^{2n-4}-X_2^{2n-4})X_3^2+ ( X_1^{2n-6}-X_2^{2n-6})X_3^2 X_4^2+ \cdots + ( X_1^{2}-X_2^{2})X_3^2 \cdots X_n^2 \Big),

ki je del aktualne domače naloge. Tukaj \sum ! pomeni seštevanje po vseh možnih permutacijah indeksov \{1,2,\ldots,n\} in \displaystyle h=X_1^{2n}+\cdots+X_n^{2n}-n X_1^2\cdots X_n^2.

This entry was posted in Pedagoško delo, Realna algebraična geometrija (FMF), Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s