Predavanje LA.6: Linearne preslikave. Še vedno osnove

Trditev: Naj bo \mathcal A:U\to V linearna preslikava. Tedaj:

  1. \mathcal A(0)=0;
  2. za vse u\in U velja \mathcal A(-u)=-\mathcal A(u);
  3. za vse \alpha_1,\ldots ,\alpha_n\in\mathbb F in vse u_1,\ldots, u_n\in U je \mathcal A(\alpha_1 u_1+\cdots + \alpha_n u_n)= \alpha_1 \mathcal A(u_1)+ \cdots + \alpha_n \mathcal A(u_n).

Izrek: Linearna preslikava je določena z vrednostmi na bazi. Natančneje: če je \{u_1,\ldots,u_n\} baza za vektorski prostor U, potem za poljubno n-terico vektorjev v_1,\ldots,v_n\in V obstaja natanko ena linearna preslikava \mathcal A:U\to V, za katero je \mathcal A(u_i)=v_i za i=1,\ldots,n.

Zgled: Linearna preslikava \mathcal A:\mathbb R^2\to\mathbb R^2, ki je podana z (1,0)\mapsto (-1,0) in (0,1)\mapsto (0,1), je zrcaljenje preko y-osi. Velja \mathcal A ( (x,y))=(-x,y). Hkrati lahko \mathcal A predstavimo kot množenje vektorjev \mathbb R^2 z matriko \begin{bmatrix} -1& 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}.

II.2. Jedro in slika linearne preslikave

Definicija: Za linearno preslikavo \mathcal A:U\to V, množici \ker\mathcal A:=\{u\in U\mid \mathcal A(u)=0\} pravimo jedro preslikave \mathcal A.

Zgled:

  1. Jedro ničelne preslikave \mathcal A:U\to V, u\mapsto 0 je cel vektorski prostor U, t.j. \ker\mathcal A=U.
  2. Jedro identične preslikave \mathcal A:U\to U, u\mapsto u je trivialno: \ker\mathcal A=\{0\}.
  3. Za neničelni r\in\mathbb F in vsak \mathbb F-vektorski prostor U ima preslikava \mathcal A:U\to U, u\mapsto r\cdot u tudi trivialno jedro.
  4. Za poljuben 0 \neq \vec n\in\mathbb R^3 je jedro preslikave \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R, \vec u\mapsto \vec n\cdot\vec u ravnina skozi izhodišče, ki ima \vec n za normalni vektor. Pri tem \cdot označuje skalarni produkt dveh vektorjev.
  5. Za poljuben 0 \neq \vec a\in\mathbb R^3 je jedro preslikave \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3, \vec u\mapsto \vec a\times\vec u enodimenzionalni vektorski prostor, ki ga napenja \vec a, \ker\mathcal A= Lin(\vec a). Tukaj smo z \times označili vektorski produkt dveh vektorjev.
  6. Vzemimo A\in M_{m\times n}(\mathbb R). Potem je \mathcal A_A:\mathbb R^n\to \mathbb R^m, u\mapsto Au linearna preslikava, katere jedro je množica rešitev linearnega sistema Ax=0. Torej je \ker\mathcal A_A=\{x\in\mathbb R^n\mid Ax=0\}.
  7. Odvajanje \mathcal A:\mathbb R[X]\to\mathbb R[X], p=a_0+\cdots+a_nX^n \mapsto p'=a_1+2 a_2 X+\cdots+na_nX^{n-1} je linearna preslikava, katere jedro je \ker\mathcal A=\{konstantni polinomi\}=\{a\in\mathbb R\}=\mathbb R[X]_{\leq 0}.
  8. Rotacija v ravnini okrog izhodišča za poljuben kot \varphi je linearna preslikava s trivialnim jedrom.

Spomnimo se: preslikavo \mathcal A:U\to V imenujemo injektivna, kadar iz \mathcal A(u_1)=\mathcal A(u_2) za neka u_1,u_2\in U sledi u_1=u_2.

Izrek: Linearna preslikava je injektivna tedaj in le tedaj, ko ima trivialno jedro.

Trditev: Linearna preslikava s trivialnim jedrom slika linearno neodvisne vektorje v linearno neodvisne vektorje.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s