Predavanje LA.3: Linearna odvisnost, neodvisnost, baza vektorskega prostora

I.3. Baza vektorskega prostora

Naj bo V vektorski prostor nad \mathbb F in v_1,\ldots, v_n\in V. Za skalarje a_1,\ldots,a_n\in\mathbb F pravimo izrazu oblike a_1v_1+\cdots+a_nv_n linearna kombinacija vektorjev v_1,\ldots, v_n\in V. Skalarji a_1,\ldots, a_n so pri tem koeficienti te linearne kombinacije. Množico vseh možnih linearnih kombinacij vektorjev v_1,\ldots, v_n imenujemo linearna ogrinjača (ali tudi linearna lupina) in označimo
Lin(v_1,\ldots, v_n).

Trditev: Lin(v_1,\ldots, v_n)\leq V. Velja celo več: Lin(v_1,\ldots, v_n) je najmanjši vektorski podprostor v V, ki vsebuje vektorje v_1,\ldots, v_n.

Zaradi te trditve Lin(v_1,\ldots, v_n) imenujemo vektorski podprostor, ki ga generirajo v_1,\ldots, v_n. Hkrati te vektorje imenujemo ogrodje Lin(v_1,\ldots, v_n).

Zgled:

  1. V \mathbb R^2 za poljubna vektorja u,v, ki ne ležita na isti premici, velja Lin(u,v)= \mathbb R^2. Če sta u in v kolinearna (=ležita na isti premici) in neničelna, potem je Lin(u,v)= Lin(u)= Lin(v).
  2. Podobno je linearna ogrinjača treh vektorjev v \mathbb R^3, ki ne ležijo v isti ravnini, cel prostor \mathbb R^3.

Definicija: Vektorji v_1,\ldots, v_n\in V so linearno odvisni, če obstajajo skalarji a_1,\ldots, a_n\in\mathbb F, ki niso vsi enaki 0, za katere velja a_1v_1+\cdots+a_nv_n=0. V nasprotnem primeru so vektorji v_1,\ldots, v_n linearno neodvisni. Ekvivalentno: noben od v_i ni linearna kombinacija vseh ostalih v_j.

Opazimo, da je vsaka množica vektorjev, ki vsebuje 0, linearno odvisna.

Zgled:

  1. Vektorja \begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\in\mathbb R^2 sta linearno neodvisna.
  2. Matrike \begin{bmatrix}0&1\\ 0&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0\\1&0\end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0&0\\ 0&1\end{bmatrix}\in M_2(\mathbb R) so linearno neodvisne.
  3. Vektorji \begin{bmatrix}1\\-1\\1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}-1\\-1\\ 0 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix}0\\4\\-2\end{bmatrix}\in\mathbb R^3 so linearno odvisni.

Definicija: Množica vektorjev \{v_1,\ldots, v_n\}\subseteq V je baza vektorskega prostora V, če

  1. Lin(v_1,\ldots,v_n)=V.
  2. vektorji v_1,\ldots, v_n so linearno neodvisni.

Zgled:

  1. \{1,X,X^2,\ldots,X^n\} je baza \mathbb R[X]_{\leq n}.
  2. \{1,i\} je baza \mathbb R-vektorskega prostora \mathbb C.
  3. \{1\} je baza \mathbb C-vektorskega prostora \mathbb C.
  4. Poljubna linearno neodvisna vektorja v ravnini \mathbb R^2 tvorita bazo. Poljubni trije linearno neodvisni vektorji v prostoru \mathbb R^3 tvorijo bazo.

Izrek: Naj bo \{v_1,\ldots, v_n\} baza vektorskega prostora V. Potem za vsak v\in V obstajajo enolično določeni skalarji a_1,\ldots,a_n\in\mathbb F, za katere velja v=a_1v_1+\cdots+a_nv_n. (Razvoj po bazi je enoličen.)

I.4. Dimenzija vektorskega prostora

Vektorski prostor, ki ima kakšno končno ogrodje, imenujemo končno-dimenzionalen (ali tudi končno-razsežen). Vsak končno-dimenzionalen vektorski prostor premore končno bazo.

Zgled:

  1. \mathbb R^n, M_{n\times r}(\mathbb R) so končno-dimenzionalni.
  2. \mathbb R[X]_{\leq n} je končno-dimenzionalen.
  3. \mathbb R[X] ni končno-dimenzionalen.

Lema: Naj bo V končno-dimenzionalen, \{v_1,\ldots, v_n\} baza za V in w_1,\ldots, w_m poljubni vektorji iz V. Če je m>n, potem so vektorji w_1,\ldots, w_m linearno odvisni.

Izrek: Naj bo V končno-dimenzionalen vektorski prostor. Potem imajo vse njegove baze enako število elementov. Rečemo ji dimenzija vektorskega prostora V in pišemo dim(V).

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s