Predavanje LA.2: Vektorski prostori in podprostori

I.2. Vektorski prostori in podprostori

Naj bo \mathbb F\in\{\mathbb Q,\mathbb R,\mathbb C\}.

Neprazni množici V, ki je opremljena z operacijama

  • +: V\times V\to V;
  • \cdot: \mathbb F\times V\to V,

ki zadoščata pogojem

  1. (V,+) je abelova grupa;
  2. (a+b)\cdot v=a\cdot v+b\cdot v in a\cdot (v+w)=a \cdot v+a\cdot w) za vse a,b\in\mathbb F in v,w\in V;
  3. a\cdot(b\cdot v)=(a\cdot b)\cdot v za vse a\in\mathbb F in v\in V;
  4. 1\cdot v=v za vse v,w\in V,

pravimo vektorski prostor (nad \mathbb F).  Elemente množice V imenujemo vektorje, elementi \mathbb F pa so skalarji. Nevtralni element abelove grupe (V,+) imenujemo ničelni vektor.

Osnovni zgledi vektorskih prostorov:

  1. \mathbb R, \mathbb R^2, \mathbb R^3, \mathbb R^n so vektorski prostori nad \mathbb R;
  2. M_{n\times r}(\mathbb R), M_{n}(\mathbb R) so tudi vektorski prostori nad $\mathbb R;
  3. \mathbb C je vektorski prostor nad \mathbb R;
  4. \mathbb C je vektorski prostor nad \mathbb C;
  5. V=\{0\} je vektorski prostor nad \mathbb F;
  6. Množica \mathbb R[X] vseh realnih polinomov je vektorski prostor nad \mathbb R;
  7. Množica \mathbb R[X]_{\leq d} vseh realnih polinomov stopnje kvečjemu d je vektorski prostor nad \mathbb R.

Povedali smo tudi, da je produkt \alpha\cdot v skalarja \alpha\in\mathbb F in vektorja v\in V enak 0 natanko tedaj, ko je \alpha=0 ali v=0.

Neprazna podmnožica W vektorskega prostora V je vektorski podprostor (oznaka: W\leq V), če je zaprta za seštevanje in množenje s skalarji:

  1. za vse x,y\in W je x+y\in W;
  2. za vse \alpha\in\mathbb F in x\in W je \alpha\cdot x\in W.

Vsak vektorski podprostor kakšnega vektorskega prostora je tudi sam vektorski prostor. Hkrati je presek vektorskih podprostorov tudi vektorski podprostor.

Zgledi vektorskih podprostorov:

  1. W=\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\mid x_1=0\}  je vektorski podprostor V=\mathbb R^2; podobno je =\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\mid x_1+x_2=0\}\leq V; po drugi strani pa Z=\{(x_1,x_2)\in\mathbb R^2\mid x_1=1\} ni vektorski podprostor V, saj npr. ni zaprta za seštevanje;
  2. \mathbb R[X]_{\leq d}\leq \mathbb R[X]; množica \mathbb R[X]_{=d} vseh realnih polinomov stopnje enake d ni vektorski podprostor \mathbb R[X].
This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

One Response to Predavanje LA.2: Vektorski prostori in podprostori

  1. Pingback: Predavanje LA.4: Dimenzija vektorskega prostora. (Direktna) vsota vektorskih prostorov « igor’s math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s