Predavanje LA.1: Grupe in abelove grupe

Poglavje I: Vektorski prostori

I.1. Grupe

Eden prvih abstraktnih pojmov, ki jih srečamo v algebri, je pojem grupe. Neprazni množici G, ki je opremljena z operacijo \circ:G\times G\to G,\; (a,b)\mapsto a\circ b, pravimo grupa, če zadošča naslednjim aksiomom:

  1. asociativnost: a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c za vse a,b,c\in G;
  2. obstoj nevtralnega elementa (enote) e, ki zadošča a\circ e=e\circ a=a za vsak a\in G;
  3. obstoj inverznih elementov: za vsak a\in G obstaja b\in G za katerega velja a\circ b=b\circ a=e.

Osnovni zgledi grup so:

  1. (\mathbb Z,+), (\mathbb Q,+), (\mathbb R,+), (\mathbb C,+);
  2. (\mathbb Q\setminus\{0\},\cdot), (\mathbb R\setminus\{0\},\cdot), (\mathbb C\setminus\{0\},\cdot);
  3. (\{-1,1,-i,i\},\cdot);
  4. (\mathbb R^2,+), (\mathbb R^3,+), (\mathbb R^n,+);
  5. (M_{n\times r}(\mathbb R),+), (M_{n}(\mathbb R),+);
  6. grupa obrnljivih realnih n\times n matrik (\text{GL}_n(\mathbb R),\cdot);
  7. simetrična grupa (S_n,\circ), tj. grupa bijekcij (včasih jim rečemo permutacije) množice \{1,2,\ldots,n\}.
  8. grupa ostankov pri deljenju z n za seštevanje (modulo n): (\mathbb Z_n,+);
  9. grupa neničelnih ostankov pri deljenju s praštevilom p za množenje (modulo p): (\mathbb Z_p\setminus\{0\},\cdot).

Zgledi množic z operacijami, ki niso grupe:

  1. (\mathbb N,+), (\mathbb N,\cdot), (\mathbb Z,\cdot), (\mathbb Q,\cdot);
  2. množica vseh iracionalnih števil za seštevanje;
  3. množica vseh iracionalnih števil za množenje.

Posebni razred grup so abelove grupe. Grupo G, ki (zraven zgornjih 3 aksiomov) zadošča tudi

  1. komutativnost: a\circ b=b\circ a za vse a,b\in G

pravimo abelova grupa. V zgornjem seznamu so z izjemo primerov 6 (za n\geq 2) in 7 (za n\geq 3) vse grupe abelove.

This entry was posted in Linearna algebra (FNM), Pedagoško delo, Slovenščina. Bookmark the permalink.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s