igor's math Blog

(MatR etc.) Obvestilo za študente FNM

igorklep — Tue, 30 Aug 2011 08:35:42 +0000

Naslednja govorilna ura bo v torek, 13.9.

(Osvežitev 7.9.2011) Natančneje, med 13 in 15h.

Če me želi kdo v prihodnje osebno srečati (npr. zaradi kakšnega podpisa ipd.), prosim za predhodno najavo po emailu.

(RAG etc.) Obvestilo za študente FMF

igorklep — Tue, 30 Aug 2011 08:32:53 +0000

Naslednji (in s tem zadnji) izpitni rok bo v sredo, 14.9.

Vse, ki želijo takrat zagovarjati domače naloge, prosim, da se vsaj 7 dni prej prijavijo po emailu.

Kn.OpAlg: Spektraeder und vollständige positivität

igorklep — Fri, 15 Jul 2011 14:07:05 +0000

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Kn.OpAlg: Operatorräume

igorklep — Fri, 15 Jul 2011 14:03:30 +0000

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Kn.OpAlg: Wichtige Mitteilungen

igorklep — Tue, 12 Jul 2011 08:59:32 +0000

Einige Durchsagen:

(1) Die letzte Vorlesung, am Freitag den 15.7., findet ausnahmsweise in D 301 statt.

(2) Termin für die mündlichen Prüfungen: Montag der 18.7., um 1000 und um 1045. Raum: F 426.

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.-1

igorklep — Thu, 07 Jul 2011 15:48:14 +0000

Erfrischung (8.7.2011): Es gibt jetzt insgesamt 6 Bonusaufgaben.

(1) Sei eine -Algebra und invertierbar. Zeige: ist positiv genau dann, wenn und

(2) Seien beschränkte Operatoren und unitär. Beweise, dass die Matrix positiv ist genau dann, wenn .

(3) Sei eine -Algebra. Zeige: die Identität ist vollständig positiv genau dann, wenn kommutativ ist.

(4) Sei eine vollständig positive Abbildung. Beweise: für alle .

(5) Seien Kontraktionen auf einem Hilbertraum . Beweise: es existiert ein Hilbertraum der enthält und unitäre Operatoren auf mit für alle und .

(6) Betrachte die Abbildung , Ist positiv? -positiv? -positiv? Vollständig positiv?

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: Freitag, der 15.7. vor der Vorlesung)

(-1) Sei die Choi-Stinespring Darstellung für eine vollständig positive Abbildung zwischen zwei Matrizenalgeben. Was kann man über die sagen, wenn

unital ist?
spurerhaltend ist?
unital und spurerhaltend ist?

(-2) Sei ein Polynom in drei Unbestimmten. Definiere Matrizen und

Zeige: sind kommutierende Kontraktionen.
Bestimme .
Was ist ?

(-3) Wann ist für ?

(-4) Sei eine Algebra über und ein lineares Funktional. Falls für alle gilt , dann ist ein Homomorphismus.

(-5) Sei ein Hilbertraum und . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

;
es existiert ein mit ;
für alle gilt .

(-6) Sei eine -Algebra. Falls für alle aus folgt , dann ist kommutativ.

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.10

igorklep — Thu, 30 Jun 2011 11:41:09 +0000

(1) Sei die standard Orthonormalbasis von . Definiere für jedes eine lineare Abbildung durch . Zeige, dass . Sei , . Beweise, dass eine positive lineare Abbildung ist, und für alle .

(2) Sei eine -Algebra und . Zeige, dass .

Sei . Dann wird durch das Hadamard-Produkt eine lineare Abbildung induziert.

(3) Beweise, dass für die folgenden Aussagen äquivalent sind:

ist positiv;
ist positiv;
ist vollständig positiv.

(4) Zu jeder -Algebra sei die Menge mit der selben Norm, Addition und Involution aber mit der Multiplikation . Zeige:

ist eine -Algebra;
und sind -isomorph;
Die Identität ist positiv aber nicht -positiv;
Die Identität ist vollständig positiv genau dann, wenn kommutativ ist.

(5) Sei ein linearer Teilraum einer -Algebra und eine beschränkte lineare Abbildung. Beweise .

(6) Sei eine -Algebra und die Spur . Ist vollständig positiv?

(7) Sei eine -Algebra und invertierbar. Zeige: ist positiv genau dann, wenn und

(8) Auf betrachten wir die Transponierung . Zeige: ist positiv genau dann, wenn positiv ist. Es gilt .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Wann ist für ?

(-2) Sei eine Algebra über und ein lineares Funktional. Falls für alle gilt , dann ist ein Homomorphismus.

(-3) Sei ein Hilbertraum und . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

;
es existiert ein mit ;
für alle gilt .

(-4) Sei eine -Algebra. Falls für alle aus folgt , dann ist kommutativ.

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.9

igorklep — Thu, 23 Jun 2011 16:33:29 +0000

ist stets ein Hilbertraum. Alle Hilbertäume etc. sind über .

(1) Sei ein Operatorsystem in einer -Algebra und ein positives Funktional. Beweise: erweitert zu einem positiven Funktional auf .

(2) Benutze das Beispiel von Arveson um eine positive Abbildung anzugeben (deren Werte nicht alle in liegen!), die man nicht zu einer positiven Abbildung auf der ganzen Algebra erweitern kann.

(3) Sei eine Isometrie auf und . (Frage: was ist die geometrische Interpretation von ?). Auf definiere . Zeige:

ist unitär.
wir identifizieren mit . Dann gilt für alle : .
Ist die Restriktion von ?

(4) Sei eine Kontraktion und . Auf definieren wir mit . Beweise:

ist eine Isometrie.
wir identifizieren mit . Dann gilt für alle : .

(5) Sei eine Kontraktion. Zeige: es existiert ein Hilbertraum der enthält und ein unitärer Operator auf , so daß für alle .

(6) Mit Hilfe der Aufgabe (5) und des Spektralabbildungssatzes gib einen neuen Beweis der Ungleichung von von Neumann.

(7) Sei ein Operatorsystem und eine unitale positive Abbilduing. Beweise, daß für alle .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-0) Wann ist für ?

(-1) Sei eine Algebra über und ein lineares Funktional. Falls für alle gilt , dann ist ein Homomorphismus.

(-2) Sei ein Hilbertraum und . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

;
es existiert ein mit ;
für alle gilt .

(-3) Sei eine -Algebra. Falls für alle aus folgt , dann ist kommutativ.

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.8

igorklep — Thu, 09 Jun 2011 09:10:05 +0000

Abgabetermin: 17.6. vor der Vorlesung.

(1) Gibt es eine -Algebra in der Elemente existieren mit ? (Hinweis: Berechne .)

(2) Fixiere und seien die Matrizen-Einheiten. Definiere und aus . Beweise: ist unitär und ist eine Rang 1 Projektion.

(3) Wann ist für ?

Erinnerung: Der numerischer Radius von ist .

(4) Sei . Zeige: für alle .

(5) Beweise: ist eine Norm auf . Es gilt für alle . Zeige, dass auf beiden Seiten die Gleichung erreicht wird.

(6) Sei ein Polynom. Nehme an, für alle . Zeige, dass eine reelle Konstante ist.

(7) Sei ein kompakter Hausdorff-Raum, ein Operatorsystem, und positiv. Beweise, dass .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Sei eine Algebra über und ein lineares Funktional. Falls für alle gilt , dann ist ein Homomorphismus.

(-2) Sei ein Hilbertraum und . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

;
es existiert ein mit ;
für alle gilt .

(-3) Sei eine -Algebra. Falls für alle aus folgt , dann ist kommutativ.

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.7

igorklep — Fri, 03 Jun 2011 14:13:45 +0000

Sei stets eine -Algebra mit .

(1) Sei ein positives Funktional und 0}' title='\alpha\in\mathbb R_{>0}' class='latex' />. Beweise, dass und äquivalente Darstellungen sind.

(2) Zeige: für gilt genau dann, wenn für alle Zustände .

(3) Beweise: jedes Element einer -Algebra ist die lineare Kombination von 4 Elementen aus .

(4) Zeige: für ist unitär. Falls unitär ist und , dann gilt auch die Umkehrung: es existiert ein mit .

(5) Beweise: der Durchschnitt aller maximalen Linksideale von ist .

(6) Existieren in Elemente mit ?

(7) Sei ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal von . Zeige, dass es eine Darstellung von gibt mit .

Bonus-Aufgaben:

(-1) Sei eine Algebra über und ein lineares Funktional. Falls für alle gilt , dann ist ein Homomorphismus.

(-2) Sei ein Hilbertraum und . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

;
es existiert ein mit ;
für alle gilt .

(-3) Falls für alle aus folgt , dann ist kommutativ.