Napovednik. Bralni krožek. Algebraična geometrija v grupah

Algebraična geometrija v grupah je razmeroma nova veda algebre, ki se nahaja na presečišču komutativne algebre, algebraične geometrije, teorije upodobitev, matematične logike in teorije grup. V osnovi izhaja iz teorije enačb v grupah, v zadnjih letih pa se je razvila v samostojno vejo. Prislužila si je že celo svojo številko 20F70 v  Mathematics Subject Classification (MSC 2010).

Začetek klasične algebraične geometrije se ukvarja z geometrijo krivulj in njihovih večdimenzionalnih analogij. Danes je geometrija tesno povezana s teorijo idealov v polinomskih algebrah. Polinome lahko naravno definiramo v grupah, prav to pa predstavlja osnovo za razvoj algebraične geometrije v grupah.

V zadnjih nekaj letih je več avtorjev (Baumslag, Kharlampovich, Sela, Myasnikov, Remeslennikov, Bestvina idr.) postavilo temelje teorije, ki se ukvarja z enačbami v grupah, in vpeljalo osnovne pojme komutativne algebre in algebraične geometrije v grupe: delitelji niča, praideali, noetherskost, primarni ideali in presečni izrek tipa Lasker-Noether, nerazcepnost in Nullstellensatz. Primer uporabe je npr. rešitev 60 let starega problema Tarskega, ki je neodvisno uspela O. Kharlampovich (skupaj z A. Myasnikovim) in Z. Selaju. Dokazali so, da vse elementarne teorije neabelovih prostih grup sovpadajo. Ekvivalentno: elementarna teorija proste grupe je odločljiva.

Teorija omogoča nov pristop k nekaterim klasičnim temam algebre. Kot zgleda navedimo teorijo delovanj grup na drevesih, in homološko algebro.

Cilj bralnega krožka se je spoprijeti z različnimi algebraično-geometričnimi, logičnimi, kombinatoričnimi in grupno-teoretičnimi metodami, ki se v teoriji pojavljajo. Krožek se bo sestajal enkrat tedensko, kjer bi se udeleženci s skupnimi močmi prebijali skozi obstoječo literaturo. Točen termin in kraj bo določen v dogovoru z udeleženci.

igor in Primož

Osvežitev (29.okt.09 ob 10:10). Začetek teorije lahko zainteresirani bralec najde v

Baumslag, Gilbert(1-CCNY); Myasnikov, Alexei(1-CCNY); Remeslennikov, Vladimir(RS-OMSK)
Algebraic geometry over groups. I. Algebraic sets and ideal theory. J. Algebra 219 (1999), no. 1, 16–79.

svetovna seminarska turneja po sloveniji.okt 09

V tem tednu nadaljujem z nizom seminarskih predavanj. Nastopa prejšnji teden: predavanje na seminarju iz algebre v sredo, 21.oktobra (kjer sem uspel spredavat dobrih 5 strani mojega članka s Schweighoferjem o matričnih polinomih), in na skupnem seminarju s Primožem Moravcem v četrtek, 22. oktobra (kjer sem spredaval košček iz nastajajoče tri-lo-gi-je v delih s Heltonom in McCulloughom).  V skladu z dogovorom s tajnikom bom predaval v četrtek, 29.oktobra na njegovem seminarju za teorijo operatorjev.

Predavanje ima naslov Linearne matrične neenakosti, popolnoma pozitivne preslikave, in Ivan Vidav. Linearna matrična neenakost je neenakost podana z (afino) linearno funkcijo, katere koeficienti so (simetrične) matrike: . Množico rešitev imenujemo spektraeder. Kot osnovna zgleda navedimo poliedre in krogle. V splošnem je spektraeder konveksna in bazno zaprta semialgebraična množica. Osnovni pomen teh množic je v konveksni optimizaciji, s katero pa se mi ne bomo ukvarjali. Mene v glavnem zanima množica matričnih rešitev linearnih matričnih neenakosti. Tukaj v vstavljamo -terico simeričnih matrik in pri tem za operacijo uporabimo tenzorski produkt: . Množico vseh -teric simetričnih matrik (vseh velikosti!), za katere je , imenujemo nekomutativni spektraeder.

Osnovni problem, s katerim se ukvarjamo v nastajajočem članku s Heltonom in McCulloughom, so preslikave med le-temi. V seminarskem predavanju si bomo ogledali nekaj posebnih primerov. Dokazal bom linearni Positivstellensatz, ki opiše, kdaj je (ekvivalentno: ). Glavno orodje v tem dokazu so popolnoma pozitivne preslikave. Kot posledico bom podal algebraično karakterizacijo omejenosti (nekomutativnega) spektraedra: kvadratični modul, ki ga tvorijo vsi matrični polinomi, ki so pozitivni na spektraedru iz trivialnih razlogov, ima urejenostno enoto (je arhimedski). Za konec povejmo, da se v tem dokazu uporabi star izrek I. Vidava iz leta 1959.

Naslednji teden se moja turneja konca (?) v Mariboru v ponedeljek, 2.novembra na seminarju z delovnim naslovom aova (kjer bom predaval o pozitivnih nekomutativnih polinomih in njihovi povezavi z ureditvami na centralno enostavnih algebrah; to bo pregled mojega clanka z Ungerjem in Annals of Mathematics clanka Procesi-Schacher iz leta 1976).

NCSOStools

This is an announcement. Together with Kristijan Cafuta and Janez Povh we are pleased to introduce NCSOStools, an open source MATLAB toolbox for

• symbolic computation with polynomials in noncommuting variables;
• constructing and solving sum of hermitian squares (with commutators) programs for polynomials in noncommuting variables.

The programs constructed are semidefinite programs (SDP) and are currently solved using SeDuMi (Jos Sturm’s old version is available here) or SDPT3. For a full description of the toolbox please see http://ncsostools.fis.unm.si/documentation.

Readers interested in sum of squares and optimization of polynomials in commuting variables are refered to one of the many great existing packages, such as GloptiPoly, SOSTOOLS, YALMIP, etc.
A Mathematica package for computations with noncommutative polynomials is Bill Helton’s NCAlgebra.

Computational Algebra informal reading Seminar. Povzetek in najava

Primož Moravec je na prejšnjem seminarju razložil Todd-Coxeterjev algoritem za preštevanje odsekov. Za vse, ki ste predavanje zamudili, lahko prosojnice in GAP demonstracijo snamete s Primoževe strani.

Prihodnji četrtek, 12 marca bom predaval jaz. Predvidena tema so Gröbnerjeve baze v nekomutativnem. Poudarek bo tudi na praktični predstavitvi Bill Heltonovega paketa NCAlgebra za Mathematico. Se vidimo v Plemljevem seminarju ob 16.uri.

Computational Algebra informal reading Seminar. Najava

V četrtek, 5.marca nam bo Primož v Plemljevem seminarju ob 16.uri razložil Todd-Coxeterjev algoritem za preštevanje odsekov v teoriji in praksi.

Computational Algebra informal reading Seminar

Danes se je začel neformalen učni seminar iz računske algebre z dvema predavanjema po 45 min, ki sta potekali v okviru Seminarja iz funkcionalne analize in algebre, ki ga vodita Matej Brešar in Peter Šemrl. Predavala sva oba organizatorja neformalnega učnega seminarja.

Moje predavanje (namenjeno zelo široki publiki) je bilo posvečeno računski komutativni algebri s precejšnjim poudarkom na Gröbnerjevih bazah. Prosojnice v pdf obliki so dosegljive tukaj.

Primož je pripravil predavanje o računski teoriji grup, pri čemer se je osredotočil na policiklične grupe. Tudi njegovo predavanje je v dostopno v pdf obliki.

Učni seminar se bo nadaljeval prihodnji četrtek, 5.marca ob 16.uri s predavanjem Primoža, ki nam bo (med drugim) podrobneje predstavil delovanje GAPa. Vabljeni.