Komutativna algebra (FNM) « igor's math Blog

26 Jan 2010

Domača naloga KomAlg.4

Filed under: Komutativna algebra (FNM),Pedagoško delo,Slovenščina — igorklep @ 09:54

1. Naj bosta $A\subseteq B$ kolobarja, pri čemer je $B$ celosten nad $A$ . Dokaži: če je $x\in A$ enota v $B$ , potem je enota tudi v $A$ .

2. Naj bosta $A\subseteq B$ kolobarja in predpostavimo, da je množica $B\setminus A$ zaprta za množenje. Pokaži, da je $A$ celostno zaprt v $B$ .

3. Naj bo $M$ modul nad $A$ in $\varphi:M\to M$ homomorfizem modulov. Dokaži:

če je $M$ noetherski in $\varphi$ surjektiven, potem je $\varphi$ izomorfizem;
če je $M$ artinski in $\varphi$ injektiven, potem je $\varphi$ izomorfizem.

4. Naj bo $k$ polje in $A$ algebra nad $k$ z $\dim_k A<\infty$ . Pokaži, da je $A$ noetherski in artinski kolobar.

5. Naj bo $X$ neskončen kompakten Hausdorffov topološki prostor in $C(X)$ kolobar vseh realnih zveznih funkcij na $X$ .

Ali je $C(X)$ noetherski?
Ali ima ničelni ideal $(0)$ v $C(X)$ primarni razcep?

6. Podana je (ne nujno končna) množica polinomov $f_\lambda\in\mathbb C[X_1,\ldots,X_n]$ ( $\lambda\in\Lambda$ ) v večih spremenljivkah. Naj bo $Z=\{ a\in\mathbb C^n \mid f_\lambda(a)=0$ za vse $\lambda\in\Lambda\}$ njihova skupna množica ničel. Pokaži, da obstaja končna podmnožica $\Lambda_0\subseteq\Lambda$ , da velja $Z=\{ a\in\mathbb C^n \mid f_\lambda(a)=0$ za vse $\lambda\in\Lambda_0\}$ .

rok oddaje: ponedeljek, 1. marec 2010 ob 11:30.

Leave a Comment

11 Jan 2010

Domača naloga KomAlg.3

Filed under: Komutativna algebra (FNM),Pedagoško delo,Slovenščina — igorklep @ 15:58

Posodobitev (25. januar): popravek v prvi nalogi.

1. Naj bo $A=\mathbb Z_{2010}$ . Dokaži, da je $\mathfrak p:=(67)$ praideal v $A$ in izračunaj $A_{\mathfrak p}$ .

2. Multiplikativna množica $S$ kolobarja $A$ je nasičena, če iz $xy\in S$ za $x,y\in A$ sledi $x,y\in S$ . Dokaži:

$S$ je nasičena natanko tedaj, ko je $A\setminus S$ unija praidealov;
za vsako multiplikativno množico $S$ obstaja najmanjša nasičena multiplikativna množica $\bar S$ , ki vsebuje $S$ .

Če je $S=1+\mathfrak a$ za nek ideal $\mathfrak a\subseteq A$ , izračunaj $\bar S$ .

3. Naj bo $M$ modul nad $A$ in $\mathfrak a$ ideal v $A$ . Pokaži: če je $M_{\mathfrak m}=0$ za vse maksimalne ideale $\mathfrak m\supseteq\mathfrak a$ , potem je $M=\mathfrak aM$ .

4. Opiši vse kolobarje $A$ , za katere velja $\mathbb Z\subseteq A\subseteq \mathbb Q$ .

5. Naj bo $M$ modul nad $A$ in $m\in M$ . Denimo, da za vsak maksimalni ideal $\mathfrak m\subseteq A$ velja $\varphi_{\mathfrak m}(m)=0$ , kjer je $\varphi_{\mathfrak m}:M\to M_{\mathfrak m}$ kanonična preslikava. Pokaži, da je $m=0$ .

rok oddaje: ponedeljek, 25. januar 2010 ob 16:30.

Leave a Comment

14 Dec 2009

Domača naloga KomAlg.2

Filed under: Komutativna algebra (FNM),Pedagoško delo,Slovenščina — igorklep @ 20:33

1. Naj bo $R$ kolobar in $M$ modul nad $R$ . Dokaži: če obstaja $u\in M$ , da je $M=R\cdot u$ , potem je $M\cong R/{\rm Ann\,}(u)$ .

2. Naj bo $M$ končno generiran $R$ -modul in $f:M\to M$ homomorfizem modulov. Pokaži: če je $f$ surjektiven, je $f$ izomorfizem.

3. Podan je komutativen diagram $R$ -modulskih homomorfizmov $\begin{matrix} A & \stackrel{f}{\longrightarrow} & B & \stackrel{g}{\longrightarrow} & C \\ \downarrow\alpha & & \downarrow\beta & & \downarrow\gamma\\ A' & \stackrel{f'}{\longrightarrow} & B' & \stackrel{g'}{\longrightarrow} & C'\end{matrix}$ . Predpostavimo tudi, da sta obe vrstici eksaktni. Dokaži:

$\beta({\rm im\,}\beta \bigcap{\rm im\,}f')=\beta({\rm ker\,}(\gamma\circ g))$ ;
${\rm im\,}(f'\circ \alpha)=\beta( {\rm ker\,}\beta+{\rm ker\,}g)$ .

4. Izračunaj naslednje tenzorske produkte:

$\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Q$ ;
$\mathbb Q\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z_n$ ;
$\mathbb Z[X]\otimes_{\mathbb Z}\mathbb Z[X]$ ;
$M_n(\mathbb C)\otimes_{\mathbb C}M_m(\mathbb C)$ .

5. Naj bo $\mathfrak a\vartriangleleft R$ in $M$ modul nad $R$ . Pokaži, da je $(R/\mathfrak a)\otimes_R M \cong M/(\mathfrak aM)$ .

rok oddaje: ponedeljek, 4. januar 2010 ob 16:30.

Leave a Comment

30 Nov 2009

Domača naloga KomAlg.1

Filed under: Komutativna algebra (FNM),Pedagoško delo,Slovenščina — igorklep @ 18:27

Naj bosta $I$ in $J$ ideala kolobarja $A$ . Pokaži, da je $I \cup J$ ideal kolobarja $A$ natanko tedaj, ko je $I\subseteq J$ ali $J\subseteq I$ .
Poišči vse praideale in maksimalne ideale kolobarjev $\mathbb C[X]$ in $\mathbb R[X]$ . Poišči kak praideal $\mathbb C[X,Y]$ , ki ni maksimalen.
Naj bo $A$ kolobar, v katerem vsak ideal, ki ni vsebovan v nilradikalu, vsebuje kakšen idempotent (to so elementi $e$ , za katere je $e^2=e\neq 0$ ). Pokaži, da nilradikal in Jacobsonov radikal $A$ sovpadata.
Naj za kolobar $A$ velja $x^2=x$ za vse $x\in A$ . Pokaži, da je:

$2x=0$ za vse $x\in A$ ;
vsak praideal $\mathfrak p$ kolobarja $A$ je maksimalen in $A/\mathfrak p\cong \mathbb Z_2$ ;
vsak končno generiran ideal $A$ je glavni.