Napovednik. Bralni krožek. Algebraična geometrija v grupah

Algebraična geometrija v grupah je razmeroma nova veda algebre, ki se nahaja na presečišču komutativne algebre, algebraične geometrije, teorije upodobitev, matematične logike in teorije grup. V osnovi izhaja iz teorije enačb v grupah, v zadnjih letih pa se je razvila v samostojno vejo. Prislužila si je že celo svojo številko 20F70 v  Mathematics Subject Classification (MSC 2010).

Začetek klasične algebraične geometrije se ukvarja z geometrijo krivulj in njihovih večdimenzionalnih analogij. Danes je geometrija tesno povezana s teorijo idealov v polinomskih algebrah. Polinome lahko naravno definiramo v grupah, prav to pa predstavlja osnovo za razvoj algebraične geometrije v grupah.

V zadnjih nekaj letih je več avtorjev (Baumslag, Kharlampovich, Sela, Myasnikov, Remeslennikov, Bestvina idr.) postavilo temelje teorije, ki se ukvarja z enačbami v grupah, in vpeljalo osnovne pojme komutativne algebre in algebraične geometrije v grupe: delitelji niča, praideali, noetherskost, primarni ideali in presečni izrek tipa Lasker-Noether, nerazcepnost in Nullstellensatz. Primer uporabe je npr. rešitev 60 let starega problema Tarskega, ki je neodvisno uspela O. Kharlampovich (skupaj z A. Myasnikovim) in Z. Selaju. Dokazali so, da vse elementarne teorije neabelovih prostih grup sovpadajo. Ekvivalentno: elementarna teorija proste grupe je odločljiva.

Teorija omogoča nov pristop k nekaterim klasičnim temam algebre. Kot zgleda navedimo teorijo delovanj grup na drevesih, in homološko algebro.

Cilj bralnega krožka se je spoprijeti z različnimi algebraično-geometričnimi, logičnimi, kombinatoričnimi in grupno-teoretičnimi metodami, ki se v teoriji pojavljajo. Krožek se bo sestajal enkrat tedensko, kjer bi se udeleženci s skupnimi močmi prebijali skozi obstoječo literaturo. Točen termin in kraj bo določen v dogovoru z udeleženci.

igor in Primož

Osvežitev (29.okt.09 ob 10:10). Začetek teorije lahko zainteresirani bralec najde v

Baumslag, Gilbert(1-CCNY); Myasnikov, Alexei(1-CCNY); Remeslennikov, Vladimir(RS-OMSK)
Algebraic geometry over groups. I. Algebraic sets and ideal theory. J. Algebra 219 (1999), no. 1, 16–79.

Computational Algebra informal reading Seminar. Najava

Seminar se še naprej odvija v moji odsotnosti. Po Matejinem predavanju prejšnji četrtek, bo tokrat na vrsti Primož Moravec, ki bo predaval o Bazičnih komutatorjih kot relatorjih (basic commutators as relators). Vse to in še več v četrtek, 28.5. ob 16.uri v 2.04 na Jadranski 21.

Computational Algebra informal reading Seminar. Najava

Prvo predavanje po majskih praznikih je v četrtek, 14.5., pripravil David Dolžan na temo kolobarjev, v katerih je komutativnost tranzitivna.

Prihodnji četrtek, 21.5. ob 16.uri v 2.04 na Jadranski 21, bo v moji odsotnosti predavala Mateja Grašič. Naslov njenega predavanja je Algebre, določene z ničelnim produktom.

Computational Algebra informal reading Seminar. Najava

Po krajšem prazničnem odmoru seminar nadaljujemo prihodnji četrtek, 14.5., s predavanjem Davida Dolžana, ki bo predaval o strukturi (w)CT kolobarjev.

Kolobar imenujemo CT (commutative transitive), če je komutativnost tranzitivna lastnost, tj., . Če ta lastnost velja le za necentralne elemente , potem kolobar imenujemo wCT (weakly commutative transitive). David bo predstavil rezultate o strukturi CT in wCT kolobarjev iz članka v nastajanju, ki ga pišemo skupaj s Primožem Moravcem.

Computational Algebra informal reading Seminar. Povzetek in najava

V četrtek, 16.4., je predaval Matej Brešar o funkcijskih identitetah. Reklama za pripadajočo knjigo. Springerlink povezava.

Zadnji predpraznični seminar nam bo prihodnji četrtek, 23.4., pripravil Gabriel Verret. Predstavil bo manjkajoč del algoritma, ki dani grupi poišče vse podgrupe indeksa . (Prvi del algoritma je demonstriral Primož Potočnik na enem prejšnjih seminarjev.) Naslov predavanja: The Reidemeister Schreier algorithm.

Computational Algebra informal reading Seminar. Povzetek in najava

V moji odsotnosti je na prejšnjem seminarju predaval Pablo Spiga (Universita’ degli studi di Padova, Italija) o Fixed-point-free elements in p-groups.

Z veseljem sporočam, da bo prihodnji četrtek, 16.4. ob 16.uri v 2.04 na Jadranski 21, predaval Matej Brešar. Naslov: O funkcijskih identitetah.

Computational Algebra informal reading Seminar. Povzetek in najava

Prejšnjič je Sabine Burgdorf (doktorska študentka Markusa Schweighoferja, Université de Rennes 1, Universität Konstanz) pripovedovala o nekomutativnih polinomih s pozitivno sledjo in z njimi povezanim problemom momentov. Predstavila je rešitev homogenega nekomutativnega problema momentov s sledjo stopnje 4 za 2 spremenljivki in odtod izpeljala, da je vsak homogen nekomutativni polinom v 2 spremenljivkah stopnje 4, ki ima nenegativno sled, vsota hermitskih kvadratov in komutatorjev.

V četrtek, 9.4. ob 16.uri v 2.04 na Jadranski 21, bo Pablo Spiga (Universita’ degli studi di Padova, Italija) predaval o Fixed-point-free elements in p-groups.

Computational Algebra informal reading Seminar. Povzetek in najava

Matjaž Kovše nam je na zadnjem nastopu predstavil odprtokodni veleprojekt matematične skupnosti, SAGE. Radovedneži si lahko zmogljivosti sistema pogledajo v javno dostopnih delovnih zvezkih, sami pa lahko tudi stopijo v akcijo.

V četrtek, 2.4. ob 16.uri v 2.04 na Jadranski 21, bo Sabine Burgdorf (doktorska študentka Markusa Schweighoferja, Université de Rennes 1, Universität Konstanz) pripovedovala o nekomutativnih polinomih s pozitivno sledjo in z njimi povezanim problemom momentov.

Computational Algebra informal reading Seminar. Povzetek in najava

Na učnem seminarju iz računske algebre smo bili deležni še enega predavanja. Predaval je Primož Potočnik o podgrupah nizkega indeksa in predstavil algoritem, ki za dano grupo in naravno število poišče vse podgrupe grupe indeksa . (Ker je šlo za staromodno predavanje na tabli, žal ne bo prosojnic.)

Naslednji četrtek, 26.3. ob 16.uri v 2.04 na Jadranski 21, bo Matjaž Kovše predstavil odprtokodni veleprojekt matematične skupnosti, SAGE. Projekt poteka pod vodstvom Williama Steina iz University of Washington v Seattlu in v njem je doslej sodelovalo že okrog 150 raziskovalcev.

NCSOStools

This is an announcement. Together with Kristijan Cafuta and Janez Povh we are pleased to introduce NCSOStools, an open source MATLAB toolbox for

• symbolic computation with polynomials in noncommuting variables;
• constructing and solving sum of hermitian squares (with commutators) programs for polynomials in noncommuting variables.

The programs constructed are semidefinite programs (SDP) and are currently solved using SeDuMi (Jos Sturm’s old version is available here) or SDPT3. For a full description of the toolbox please see http://ncsostools.fis.unm.si/documentation.

Readers interested in sum of squares and optimization of polynomials in commuting variables are refered to one of the many great existing packages, such as GloptiPoly, SOSTOOLS, YALMIP, etc.
A Mathematica package for computations with noncommutative polynomials is Bill Helton’s NCAlgebra.