Predavanje LA010.7: Lastne vrednosti

Poglavje IV: Lastne vrednosti in lastni vektorji

IV.1. Osnove

Definicija: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem. Tedaj je \lambda\in\mathbb F lastna vrednost za \mathcal A, če obstaja tak 0\neq x\in U, da velja \mathcal Ax=\lambda x. Takšen vektor x imenujemo lastni vektor (pripadajoč lastni vrednosti \lambda).

Zgled:

  1. Naj bo \mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3 podan s predpisom \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ z\end{bmatrix}. Ta endomorfizem ima dve lastni vrednosti, \lambda=0 s pripadajočim lastnim vektorjem \begin{bmatrix}0 \\ y \\ 0\end{bmatrix} in \lambda=1 s pripadajočim lastnim vektorjem \begin{bmatrix}x \\ 0 \\ z\end{bmatrix}.
  2. Odvajanje \mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 2}\to\mathbb R[X]_{\leq 2}, ki p\mapsto p', ima edino lastno vrednost 0, pripadajoč lastni vektor pa je vsak neničelni konstantni polinom.

Trditev: \lambda je lastna vrednost endomorfizma \mathcal A natanko tedaj, ko je \ker (\mathcal A-\lambda I)\neq\{0\}.

Izrek: Naj bo \lambda lastna vrednost za \mathcal A:U\to U. Potem je \{x\in U\mid \mathcal Ax=\lambda x\}\leq U.

Definicija: Prostor \{x\in U\mid \mathcal Ax=\lambda x\}\leq U pripadajoč lastni vrednosti \lambda endomorfizma \mathcal A:U\to U imenujemo lastni podprostor, njegova dimenzija pa je geometrična kratnost lastne vrednosti \lambda.

Zgled: V zgledu 1 od prej je geometrična kratnost lastne vrednosti 1 dva, geometrična kratnost lastne vrednosti 0 pa ena.

Izrek: Naj bodo \lambda_1,\ldots,\lambda_r paroma različne lastne vrednosti endomorfizma \mathcal A s pripadajočimi lastnimi vektorji x_1,\ldots,x_r. Potem so vektorji x_1,\ldots,x_r linearno neodvisni.

Zgled:

  1. V zgledu 1 od zgoraj, sta lastna vektorja za 1, \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ z\end{bmatrix} in za 0, \begin{bmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{bmatrix} očitno linearno neodvisna.
  2. Naj bo U vektorski prostor (neskončno) odvedljivih funkcij in \mathcal A:U\to U odvajanje. Potem za vsak a\in\mathbb R velja \mathcal A(e^{a\, x})=(e^{a\, x})'=a e^{a\, x}, torej je funkcija e^{a\, x} lastni vektor za \mathcal A s pripadajočo lastno vrednostjo a. Če torej vzamemo paroma različna realna števila a_1,\ldots,a_r, potem so funkcije e^{a_1\, x},\ldots,e^{a_r\, x} linearno neodvisne.

Definicija: Za kvadratno matriko A\in M_n(\mathbb F) je \lambda\in\mathbb F lastna vrednost, če obstaja 0\neq x\in\mathbb F^n, za katerega velja Ax=\lambda x. Podobno kot prej, x imenujemo lastni vektor.

Zgled: Naj bo A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n\end{bmatrix}. Potem so a_i lastne vrednosti za A s pripadajočimi lastnimi vektorji e_i.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem in A=\mathcal A[\mathcal B,\mathcal B] matrika, ki mu pripada glede na bazo \mathcal B za U. Potem imata \mathcal A in A iste lastne vrednosti.

Fundamentalni izrek algebre pove, da ima vsak nekonstantni polinom p\in\mathbb C[X] stopnje n natanko n ničel (štetih s kratnostjo). Tako ga lahko razstavimo kot p=c (X-z_1)\cdots (X-z_n), kjer so z_i\in\mathbb C.

Ponavadi polinome p\in\mathbb F[X] vrednotimo (računamo njegove vrednosti) v \mathbb F, tj., računamo p(a) za nek a\in \mathbb F. Če je p=p_0+p_1 X+\cdots+p_n X^n, potem je p(a)=p_0+p_1 a+\cdots p_na^n. Hkrati pa lahko s tem predpisom računamo vrednosti p v točki A\in M_m(\mathbb F): p(A)=p_0+p_1A+\cdots+p_nA^n\in M_m(\mathbb F).

Izrek: Vsaka matrika A\in M_n(\mathbb F) premore kakšno lastno vrednost \lambda\in\mathbb C(!) in pripadajoč lastni vektor.

IV.2. Zgornje trikotne matrike

Matriko A\in M_n(\mathbb F) imenujemo zgornje trikotna, če je oblike A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem in U vektorski prostor nad \mathbb C. Potem obstaja taka baza za U, da v njej \mathcal A pripada zgornje trikotna matrika.

Posledica: Vsaka matrika \mathcal A\in M_n(\mathbb F) je podobna zgornje trikotni matriki nad \mathbb C, tj., obstaja takšna obrnljiva matrika P\in M_n(\mathbb C), da je P^{-1}AP\in M_n(\mathbb C) zgornje trikotna.

Zgled:

  1. Ni vsaka realna matrika podobna realni zgornje trikotni matriki, npr. A=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}. Velja pa \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}1 & 0\\ i & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-i& -1\\ 0 & i \end{bmatrix}. Lahko pa za matriko A dosežemo še več: \begin{bmatrix} -i & i \\ 1 & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}-i & i\\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{bmatrix}.
  2. Ni vsaka (kompleksna) matrika podobna (kompleksni) diagonalni matriki. Kot zgled navedimo A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

Trditev: Lastne vrednosti zgornje trikotne matrike so natanko njeni diagonalci.

Trditev: Naj bo A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix} zgornje trikotna matika. Potem je (A-a_{11} I_n)(A-a_{22}I_n)\cdots (A-a_{nn}I_n)=0.

Zgled: Za A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{bmatrix} velja (A- I_3)(A+ 2 I_3)(A+2 I_3)= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.

About these ads

One thought on “Predavanje LA010.7: Lastne vrednosti

  1. Pingback: Predavanje LA010.8: Karakteristični polinom « igor's math Blog

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s