Predavanje LA010.7: Lastne vrednosti

Poglavje IV: Lastne vrednosti in lastni vektorji

IV.1. Osnove

Definicija: Naj bo $\mathcal A:U\to U$ endomorfizem. Tedaj je $\lambda\in\mathbb F$ lastna vrednost za $\mathcal A$ , če obstaja tak $0\neq x\in U$ , da velja $\mathcal Ax=\lambda x$ . Takšen vektor $x$ imenujemo lastni vektor (pripadajoč lastni vrednosti $\lambda$ ).

Zgled:

Naj bo $\mathcal A:\mathbb R^3\to\mathbb R^3$ podan s predpisom $\begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix}\mapsto \begin{bmatrix} x \\ 0 \\ z\end{bmatrix}$ . Ta endomorfizem ima dve lastni vrednosti, $\lambda=0$ s pripadajočim lastnim vektorjem $\begin{bmatrix}0 \\ y \\ 0\end{bmatrix}$ in $\lambda=1$ s pripadajočim lastnim vektorjem $\begin{bmatrix}x \\ 0 \\ z\end{bmatrix}$ .
Odvajanje $\mathcal A:\mathbb R[X]_{\leq 2}\to\mathbb R[X]_{\leq 2}$ , ki $p\mapsto p'$ , ima edino lastno vrednost $0$ , pripadajoč lastni vektor pa je vsak neničelni konstantni polinom.

Trditev: $\lambda$ je lastna vrednost endomorfizma $\mathcal A$ natanko tedaj, ko je $\ker (\mathcal A-\lambda I)\neq\{0\}$ .

Izrek: Naj bo $\lambda$ lastna vrednost za $\mathcal A:U\to U$ . Potem je $\{x\in U\mid \mathcal Ax=\lambda x\}\leq U$ .

Definicija: Prostor $\{x\in U\mid \mathcal Ax=\lambda x\}\leq U$ pripadajoč lastni vrednosti $\lambda$ endomorfizma $\mathcal A:U\to U$ imenujemo lastni podprostor, njegova dimenzija pa je geometrična kratnost lastne vrednosti $\lambda$ .

Zgled: V zgledu 1 od prej je geometrična kratnost lastne vrednosti $1$ dva, geometrična kratnost lastne vrednosti $0$ pa ena.

Izrek: Naj bodo $\lambda_1,\ldots,\lambda_r$ paroma različne lastne vrednosti endomorfizma $\mathcal A$ s pripadajočimi lastnimi vektorji $x_1,\ldots,x_r$ . Potem so vektorji $x_1,\ldots,x_r$ linearno neodvisni.

Zgled:

V zgledu 1 od zgoraj, sta lastna vektorja za $1$ , $\begin{bmatrix} x \\ 0 \\ z\end{bmatrix}$ in za $0$ , $\begin{bmatrix} 0 \\ y \\ 0 \end{bmatrix}$ očitno linearno neodvisna.
Naj bo $U$ vektorski prostor (neskončno) odvedljivih funkcij in $\mathcal A:U\to U$ odvajanje. Potem za vsak $a\in\mathbb R$ velja $\mathcal A(e^{a\, x})=(e^{a\, x})'=a e^{a\, x}$ , torej je funkcija $e^{a\, x}$ lastni vektor za $\mathcal A$ s pripadajočo lastno vrednostjo $a$ . Če torej vzamemo paroma različna realna števila $a_1,\ldots,a_r$ , potem so funkcije $e^{a_1\, x},\ldots,e^{a_r\, x}$ linearno neodvisne.

Definicija: Za kvadratno matriko $A\in M_n(\mathbb F)$ je $\lambda\in\mathbb F$ lastna vrednost, če obstaja $0\neq x\in\mathbb F^n$ , za katerega velja $Ax=\lambda x$ . Podobno kot prej, $x$ imenujemo lastni vektor.

Zgled: Naj bo $A=\begin{bmatrix} a_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_2 & \ddots & 0 \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_n\end{bmatrix}$ . Potem so $a_i$ lastne vrednosti za $A$ s pripadajočimi lastnimi vektorji $e_i$ .

Izrek: Naj bo $\mathcal A:U\to U$ endomorfizem in $A=\mathcal A[\mathcal B,\mathcal B]$ matrika, ki mu pripada glede na bazo $\mathcal B$ za $U$ . Potem imata $\mathcal A$ in $A$ iste lastne vrednosti.

Fundamentalni izrek algebre pove, da ima vsak nekonstantni polinom $p\in\mathbb C[X]$ stopnje $n$ natanko $n$ ničel (štetih s kratnostjo). Tako ga lahko razstavimo kot $p=c (X-z_1)\cdots (X-z_n)$ , kjer so $z_i\in\mathbb C$ .

Ponavadi polinome $p\in\mathbb F[X]$ vrednotimo (računamo njegove vrednosti) v $\mathbb F$ , tj., računamo $p(a)$ za nek $a\in \mathbb F$ . Če je $p=p_0+p_1 X+\cdots+p_n X^n$ , potem je $p(a)=p_0+p_1 a+\cdots p_na^n$ . Hkrati pa lahko s tem predpisom računamo vrednosti $p$ v točki $A\in M_m(\mathbb F)$ : $p(A)=p_0+p_1A+\cdots+p_nA^n\in M_m(\mathbb F)$ .

Izrek: Vsaka matrika $A\in M_n(\mathbb F)$ premore kakšno lastno vrednost $\lambda\in\mathbb C$ (!) in pripadajoč lastni vektor.

IV.2. Zgornje trikotne matrike

Matriko $A\in M_n(\mathbb F)$ imenujemo zgornje trikotna, če je oblike $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$ .

Izrek: Naj bo $\mathcal A:U\to U$ endomorfizem in $U$ vektorski prostor nad $\mathbb C$ . Potem obstaja taka baza za $U$ , da v njej $\mathcal A$ pripada zgornje trikotna matrika.

Posledica: Vsaka matrika $\mathcal A\in M_n(\mathbb F)$ je podobna zgornje trikotni matriki nad $\mathbb C$ , tj., obstaja takšna obrnljiva matrika $P\in M_n(\mathbb C)$ , da je $P^{-1}AP\in M_n(\mathbb C)$ zgornje trikotna.

Zgled:

Ni vsaka realna matrika podobna realni zgornje trikotni matriki, npr. $A=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ . Velja pa $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}1 & 0\\ i & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-i& -1\\ 0 & i \end{bmatrix}$ . Lahko pa za matriko $A$ dosežemo še več: $\begin{bmatrix} -i & i \\ 1 & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}-i & i\\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{bmatrix}$ .
Ni vsaka (kompleksna) matrika podobna (kompleksni) diagonalni matriki. Kot zgled navedimo $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

Trditev: Lastne vrednosti zgornje trikotne matrike so natanko njeni diagonalci.

Trditev: Naj bo $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$ zgornje trikotna matika. Potem je $(A-a_{11} I_n)(A-a_{22}I_n)\cdots (A-a_{nn}I_n)=0$ .

Zgled: Za $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{bmatrix}$ velja $(A- I_3)(A+ 2 I_3)(A+2 I_3)= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ .