Predavanje LA.15: Zgornje trikotne matrike

IV.3. Zgornje trikotne matrike

Matriko A\in M_n(\mathbb F) imenujemo zgornje trikotna, če je oblike A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}.

Izrek: Naj bo \mathcal A:U\to U endomorfizem in U vektorski prostor nad \mathbb C. Potem obstaja taka baza za U, da v njej \mathcal A pripada zgornje trikotna matrika.

Posledica: Vsaka matrika \mathcal A\in M_n(\mathbb F) je podobna zgornje trikotni matriki nad \mathbb C, tj., obstaja takšna obrnljiva matrika P\in M_n(\mathbb C), da je P^{-1}AP\in M_n(\mathbb C) zgornje trikotna.

Zgled:

  1. Ni vsaka realna matrika podobna realni zgornje trikotni matriki, npr. A=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}. Velja pa \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}1 & 0\\ i & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-i& -1\\ 0 & i \end{bmatrix}. Lahko pa za matriko A dosežemo še več: \begin{bmatrix} -i & i \\ 1 & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}-i & i\\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{bmatrix}.
  2. Ni vsaka (kompleksna) matrika podobna (kompleksni) diagonalni matriki. Kot zgled navedimo A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}

Trditev: Lastne vrednosti zgornje trikotne matrike so natanko njeni diagonalci.

Trditev: Naj bo A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix} zgornje trikotna matika. Potem je (A-a_{11} I_n)(A-a_{22}I_n)\cdots (A-a_{nn}I_n)=0.

Zgled: Za A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{bmatrix} velja (A- I_3)(A+ 2 I_3)(A+2 I_3)= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}.

About these ads

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s