Predavanje LA.15: Zgornje trikotne matrike

IV.3. Zgornje trikotne matrike

Matriko $A\in M_n(\mathbb F)$ imenujemo zgornje trikotna, če je oblike $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$ .

Izrek: Naj bo $\mathcal A:U\to U$ endomorfizem in $U$ vektorski prostor nad $\mathbb C$ . Potem obstaja taka baza za $U$ , da v njej $\mathcal A$ pripada zgornje trikotna matrika.

Posledica: Vsaka matrika $\mathcal A\in M_n(\mathbb F)$ je podobna zgornje trikotni matriki nad $\mathbb C$ , tj., obstaja takšna obrnljiva matrika $P\in M_n(\mathbb C)$ , da je $P^{-1}AP\in M_n(\mathbb C)$ zgornje trikotna.

Zgled:

Ni vsaka realna matrika podobna realni zgornje trikotni matriki, npr. $A=\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0\end{bmatrix}$ . Velja pa $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ i & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}1 & 0\\ i & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-i& -1\\ 0 & i \end{bmatrix}$ . Lahko pa za matriko $A$ dosežemo še več: $\begin{bmatrix} -i & i \\ 1 & 1\end{bmatrix}^{-1} A \begin{bmatrix}-i & i\\ 1 & 1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} i & 0\\ 0 & -i \end{bmatrix}$ .
Ni vsaka (kompleksna) matrika podobna (kompleksni) diagonalni matriki. Kot zgled navedimo $A=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0\end{bmatrix}$

Trditev: Lastne vrednosti zgornje trikotne matrike so natanko njeni diagonalci.

Trditev: Naj bo $A=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$ zgornje trikotna matika. Potem je $(A-a_{11} I_n)(A-a_{22}I_n)\cdots (A-a_{nn}I_n)=0$ .

Zgled: Za $A=\begin{bmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & -2\end{bmatrix}$ velja $(A- I_3)(A+ 2 I_3)(A+2 I_3)= \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & -3\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix}$ .

About these ads

M	T	W	T	F	S	S
« Mar				May »
		1	2	3	4	5
6	7	8	9	10	11	12
13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26
27	28	29	30

igor's math Blog

igor's blog

Predavanje LA.15: Zgornje trikotne matrike

Like this:

Leave a Reply Cancel reply

Follow “igor's math Blog”