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(1) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und $A\in\mathcal A$ invertierbar. Zeige: $\begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)$ ist positiv genau dann, wenn $A\succeq0$ und $D-B^* A^{-1} B \succeq 0.$

(2) Seien $U,V,X$ beschränkte Operatoren und $U,V$ unitär. Beweise, dass die Matrix $\begin{bmatrix} 1 & U & X \\ U^* & 1 & V \\ X^* & V^* & 1\end{bmatrix}$ positiv ist genau dann, wenn $X=UV$ .

(3) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Zeige: die Identität $\mathcal A\to \mathcal A^{\rm op}$ ist vollständig positiv genau dann, wenn $\mathcal A$ kommutativ ist.

(4) Sei $\varphi$ eine vollständig positive Abbildung. Beweise: $\varphi(a)^* \varphi(a) \leq \| \varphi(1)\| \, \varphi(a^*a)$ für alle $a$ .

(5) Seien $T_1,\ldots,T_n$ Kontraktionen auf einem Hilbertraum $\mathcal H$ . Beweise: es existiert ein Hilbertraum $\mathcal K$ der $\mathcal H$ enthält und unitäre Operatoren $U_1,\ldots,U_n$ auf $\mathcal K$ mit $T_{i_1}^{k_1}\cdots T_{i_m}^{k_m}= P_{\mathcal H} U_{i_1}^{k_1}\cdots U_{i_m}^{k_m} |_{\mathcal H}$ für alle $m,k_j\in\mathbb N$ und $1\leq i_j \leq n$ .

(6) Betrachte die Abbildung $\phi : M_3\to M_3$ , $[a_{ij}]_{i,j=1}^3 \mapsto 2\, \begin{bmatrix} a_{11}+a_{22} \\ & a_{22}+a_{33} \\ & & a_{33}+a_{11}\end{bmatrix} - [a_{ij}]_{i,j=1}^3.$ Ist $\phi$ positiv? $2$ -positiv? $3$ -positiv? Vollständig positiv?

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: Freitag, der 15.7. vor der Vorlesung)

(-1) Sei $\varphi (A) = \sum_j V_j^* A V_j$ die Choi-Stinespring Darstellung für eine vollständig positive Abbildung zwischen zwei Matrizenalgeben. Was kann man über die $V_j$ sagen, wenn

$\varphi$ unital ist?
$\varphi$ spurerhaltend ist?
$\varphi$ unital und spurerhaltend ist?

(-2) Sei $p= z_1^2+z_2^2+z_3^2-2z_1z_2-2z_1z_3-2z_2z_3\in \mathbb C[z_1,z_2,z_3]$ ein Polynom in drei Unbestimmten. Definiere Matrizen $T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix},$ $T_1= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}$ und
$T_3= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1/\sqrt 3 & -1/\sqrt 3 & 1/\sqrt 3 & 0 \end{bmatrix}.$

Zeige: $T_1,T_2,T_3$ sind kommutierende Kontraktionen.
Bestimme $\|p\|_\infty := \sup \{ | p(z_1,z_2,z_2) | \mid z_1,z_2,z_3\in\mathbb D\}$ .
Was ist $\| p(T_1,T_2,T_3)\|$ ?

(-3) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

(-4) Sei $\mathcal A$ eine Algebra über $\mathbb C$ und $\phi:\mathcal A\to\mathbb C$ ein lineares Funktional. Falls für alle $a\in\mathcal A$ gilt $\phi(a^2)=\phi(a)^2$ , dann ist $\phi$ ein Homomorphismus.

(-5) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-6) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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30 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.10

Filed under: German,Operator Algebras — igorklep @ 12:41

(1) Sei $e_n (n\in\mathbb N)$ die standard Orthonormalbasis von $\ell^2$ . Definiere für jedes $T\in B(\ell^2)$ eine lineare Abbildung $T^t:\ell^2\to\ell^2$ durch $\langle T^te_j,e_i\rangle= \overline{ \langle T^*e_j,e_i\rangle}$ . Zeige, dass $T^t\in B(\ell^2)$ . Sei $\phi: B(\ell^2)\to B(\ell^2)$ , $T\mapsto T^t$ . Beweise, dass $\phi$ eine positive lineare Abbildung ist, und $\|\phi_n\|=n$ für alle $n\in\mathbb N$ .

(2) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und $\begin{bmatrix} p & a \\ a^* & p\end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)_+$ . Zeige, dass $\|a\|\leq\|p\|$ .

Sei $A=[a_{i,j}]_{i,j=1}^n\in M_n$ . Dann wird durch das Hadamard-Produkt $M_n\ni B=[b_{i,j}]_{i,j} \mapsto A*B=[a_{i,j}\cdot b_{i,j}]_{i,j=1}^n$ eine lineare Abbildung $S_A:M_n\to M_n$ induziert.

(3) Beweise, dass für $A\in M_n$ die folgenden Aussagen äquivalent sind:

$A$ ist positiv;
$S_A$ ist positiv;
$S_A$ ist vollständig positiv.

(4) Zu jeder $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ sei $\mathcal A^{\rm op}$ die Menge $\mathcal A$ mit der selben Norm, Addition und Involution aber mit der Multiplikation $a\circ b:=b\cdot a$ . Zeige:

$\mathcal A^{\rm op}$ ist eine $C^*$ -Algebra;
$M_2$ und $M_2^{\rm op}$ sind $*$ -isomorph;
Die Identität $M_2\to M_2^{\rm op}$ ist positiv aber nicht $2$ -positiv;
Die Identität $\mathcal A\to \mathcal A^{\rm op}$ ist vollständig positiv genau dann, wenn $\mathcal A$ kommutativ ist.

(5) Sei $\mathcal M$ ein linearer Teilraum einer $C^*$ -Algebra und $\varphi:\mathcal M\to M_n$ eine beschränkte lineare Abbildung. Beweise $\|\varphi\|_{\rm cb}\leq n\|\varphi\|$ .

(6) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und ${\rm Tr}\,: M_n(\mathcal A)\to \mathcal A$ die Spur $[a_{i,j}]_{i,j=1}^n \mapsto \sum_{j=1}^n a_{ii}$ . Ist ${\rm Tr}$ vollständig positiv?

(7) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra und $A\in\mathcal A$ invertierbar. Zeige: $\begin{bmatrix} A& B \\ B^* & D \end{bmatrix} \in M_2(\mathcal A)$ ist positiv genau dann, wenn $A\succeq0$ und $D-B^* A^{-1} B \succeq 0.$

(8) Auf $M_n=M_n(\mathbb C)$ betrachten wir die Transponierung $A\mapsto A^t$ . Zeige: $A$ ist positiv genau dann, wenn $A^t$ positiv ist. Es gilt $\|A\|=\|A^t\|$ .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-1) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

(-2) Sei $\mathcal A$ eine Algebra über $\mathbb C$ und $\phi:\mathcal A\to\mathbb C$ ein lineares Funktional. Falls für alle $a\in\mathcal A$ gilt $\phi(a^2)=\phi(a)^2$ , dann ist $\phi$ ein Homomorphismus.

(-3) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-4) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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23 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.9

Filed under: German,Operator Algebras — igorklep @ 17:33

$\mathcal H$ ist stets ein Hilbertraum. Alle Hilbertäume etc. sind über $\mathbb C$ .

(1) Sei $\mathcal S$ ein Operatorsystem in einer $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ und $\varphi:\mathcal S\to\mathbb C$ ein positives Funktional. Beweise: $\varphi$ erweitert zu einem positiven Funktional auf $\mathcal A$ .

(2) Benutze das Beispiel von Arveson um eine positive Abbildung anzugeben (deren Werte nicht alle in $\mathbb C$ liegen!), die man nicht zu einer positiven Abbildung auf der ganzen Algebra erweitern kann.

(3) Sei $V$ eine Isometrie auf $\mathcal H$ und $P=I-VV^* \in B(\mathcal H)$ . (Frage: was ist die geometrische Interpretation von $P$ ?). Auf $\mathcal K:=\mathcal H\oplus\mathcal H$ definiere $U=\begin{bmatrix} V & P \\ 0 & V^*\end{bmatrix}$ . Zeige:

$U$ ist unitär.
wir identifizieren $\mathcal H$ mit $\mathcal H\oplus\{0\}\subseteq \mathcal K$ . Dann gilt für alle $n\in\mathbb N$ : $V^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H}$ .
Ist $V^*$ die Restriktion von $U^*$ ?

(4) Sei $T\in B(\mathcal H)$ eine Kontraktion und $D_T = (I-T^*T)^{1/2}$ . Auf $\ell^2(\mathcal H)$ definieren wir $V$ mit $V(h_1,h_2,\ldots) = (Th_1, D_Th_1, h_2, \ldots)$ . Beweise:

$V$ ist eine Isometrie.
wir identifizieren $\mathcal H$ mit $\mathcal H\oplus\{0\}\oplus\{0\}\oplus\cdots\subseteq \ell^2(\mathcal H)$ . Dann gilt für alle $n\in\mathbb N$ : $T^n= P_{\mathcal H} V^n |_{\mathcal H}$ .

(5) Sei $T\in B(\mathcal H)$ eine Kontraktion. Zeige: es existiert ein Hilbertraum $\mathcal K$ der $\mathcal H$ enthält und ein unitärer Operator $U$ auf $\mathcal K$ , so daß $T^n= P_{\mathcal H} U^n |_{\mathcal H}$ für alle $n\in\mathbb N$ .

(6) Mit Hilfe der Aufgabe (5) und des Spektralabbildungssatzes gib einen neuen Beweis der Ungleichung von von Neumann.

(7) Sei $\mathcal S$ ein Operatorsystem und $\phi:\mathcal S\to B(\mathcal H)$ eine unitale positive Abbilduing. Beweise, daß $w\big(\phi(a)\big)\leq \|a\|$ für alle $a\in\mathcal S$ .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-0) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

(-1) Sei $\mathcal A$ eine Algebra über $\mathbb C$ und $\phi:\mathcal A\to\mathbb C$ ein lineares Funktional. Falls für alle $a\in\mathcal A$ gilt $\phi(a^2)=\phi(a)^2$ , dann ist $\phi$ ein Homomorphismus.

(-2) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-3) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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09 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.8

Filed under: German,Operator Algebras — igorklep @ 10:10

Abgabetermin: 17.6. vor der Vorlesung.

(1) Gibt es eine $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ in der Elemente $a,b$ existieren mit $ab-ba=1$ ? (Hinweis: Berechne $A^mB-BA^m$ .)

(2) Fixiere $n\in\mathbb N$ und seien $E_{i,j}$ die Matrizen-Einheiten. Definiere $A=[E_{j,i}]_{i,j=1}^n$ und $B=[E_{i,j}]_{i,j=1}^n$ aus $M_n(M_n)$ . Beweise: $A$ ist unitär und $\frac 1n B$ ist eine Rang 1 Projektion.

(3) Wann ist $\|T\|\leq1$ für $T=\begin{bmatrix} a & b & c \\ 0 & a & b \\ 0 & 0 & a\end{bmatrix}\in M_3$ ?

Erinnerung: Der numerischer Radius von $T\in B(\mathcal H)$ ist $w(T)=\sup \big\{ | \langle Tx,x\rangle | \mid x\in\mathcal H, \, \|x\|\leq 1\big\}$ .

(4) Sei $T\in B(\mathcal H)$ . Zeige: $w(T)\leq1$ $\Leftrightarrow$ $2+(\lambda T)+(\lambda T)^* \succeq0$ für alle $\lambda\in\partial \mathbb D$ .

(5) Beweise: $w$ ist eine Norm auf $B(\mathcal H)$ . Es gilt $w(T)\leq \|T\|\leq 2 w(T)$ für alle $T\in B(\mathcal H)$ . Zeige, dass auf beiden Seiten die Gleichung erreicht wird.

(6) Sei $p\in\mathbb C[z]$ ein Polynom. Nehme an, ${\rm Im}\, p\big( e^{i \theta}\big)=0$ für alle $\theta\in\mathbb R$ . Zeige, dass $p$ eine reelle Konstante ist.

(7) Sei $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum, $\mathcal S$ ein Operatorsystem, und $\phi:\mathcal S\to C(X)$ positiv. Beweise, dass $\|\phi\|\leq\|\phi(1)\|$ .

Bonus-Aufgaben (Abgabetermin: irgendwann vor der Prüfung)

(-2) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-3) Sei $\mathcal A$ eine $C^*$ -Algebra. Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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03 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.7

Filed under: German,Operator Algebras — igorklep @ 15:13

Sei $\mathcal A$ stets eine $C^*$ -Algebra mit $1$ .

(1) Sei $f:\mathcal A\to\mathbb C$ ein positives Funktional und $\alpha\in\mathbb R_{>0}$ . Beweise, dass $\pi_f$ und $\pi_{\alpha f}$ äquivalente Darstellungen sind.

(2) Zeige: für $a\in\mathcal A$ gilt $a\in\mathcal A_+$ genau dann, wenn $f(a)\geq0$ für alle Zustände $f$ .

(3) Beweise: jedes Element einer $C^*$ -Algebra $\mathcal A$ ist die lineare Kombination von 4 Elementen aus $\mathcal A_+$ .

(4) Zeige: für $h=h^*\in\mathcal A$ ist $u:=\exp(i\, h)$ unitär. Falls $u\in\mathcal A$ unitär ist und $\sigma (u) \subsetneq\partial\mathbb D$ , dann gilt auch die Umkehrung: es existiert ein $h=h^*\in\mathcal A$ mit $u=\exp(i\, h)$ .

(5) Beweise: der Durchschnitt aller maximalen Linksideale von $\mathcal A$ ist $\{0\}$ .

(6) Existieren in $\mathcal A$ Elemente $a,b$ mit $ab-ba=1$ ?

(7) Sei $\mathcal I$ ein abgeschlossenes zweiseitiges Ideal von $\mathcal A$ . Zeige, dass es eine Darstellung $\pi$ von $\mathcal A$ gibt mit ${\rm Ker}\, \pi=\mathcal I$ .

Bonus-Aufgaben:

(-2) Sei $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $T\in B(\mathcal H)$ . Beweise, dass folgende Aussagen äquivalent sind:

$r(T)<1$ ;
es existiert ein $m\in\mathbb N$ mit $\|T^m\|<1$ ;
für alle $x\in\mathcal H$ gilt $\sum_{n\in\mathbb N} \|T^n(x)\|<\infty$ .

(-3) Falls für alle $a\in\mathcal A$ aus $a^2=0$ folgt $a=0$ , dann ist $\mathcal A$ kommutativ.

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30 Aug 2011

(MatR etc.) Obvestilo za študente FNM

(RAG etc.) Obvestilo za študente FMF

15 Jul 2011

Kn.OpAlg: Spektraeder und vollständige positivität

Kn.OpAlg: Operatorräume

12 Jul 2011

Kn.OpAlg: Wichtige Mitteilungen

07 Jul 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.-1

30 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.10

23 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.9

09 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.8

03 Jun 2011

Kn.OpAlg Übungsblatt 2011.7

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